“三新”背景下的解题教学

在新教材、新课程、新高考的“三新”背景下，高中数学课堂的教学更加关注知识的发生与发展过程，基于此过程中数学思维品质的提升与数学关键能力的提高，课程观与作业观需在一定程度上转变与创新.

1 问题变式的深度

在教学过程中，为帮助学生达成学习目标，往往需要从问题变式中依次提升难度，评估学生的知识掌握情况与思维发展水平，以真正实现解题感悟.

例1（2024年河北省部分示范性高中高三下学期一模数学试卷·8）已知实数a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e为自然对数的底数，则（）.

A.1<b<a

B.a<b<2a

C.2a<b<a

D.ea<b<e2a

解析：由2（a+b）=e2a+2ln b+1，可得e2a－2a－1=2（b－ln b－1）=2（eln b－ln b－1）.

同构函数f（x）=ex－x－1（x>0），函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0.

由于a，b∈（1，+∞），有ln b>0，则f（ln b）>0，因此f（2a）=2f（ln b）>f（ln b），即2a>ln b.故e2a>b.

又e2a－2a－1>2（ea－a－1）＞0，则f（2a）=2f（ln b）>2f（a），即ln b>a，亦即b>ea.

综上，可得ea<b<e2a.

另外，问题可转化为2（b－ln b－1）=e2a－ln e2a－1，构造函数g（x）=x－ln x－1（x>1）亦可解决.

点评：大小比较类的问题是近年高考常见的一类考题，借助函数同构这一问题的剖析，引导学生归纳解决函数同构问题的方法以及体会解题感悟.从问题分析中不难发现，同构是该问题解决的关键，放缩是问题解决的灵魂.

笔者结合本题给出同源变式及方法变式作为作业（具体题目如下），从问题的细微差异中改变学生思考问题的角度，帮助学生发现题目间的内在联系；同时，在作业中也应突出方法的类比运用，让学生在主动思考中实现知识的有效迁移，体现作业价值的最大化，促进深度学习的发生.

同源变式已知实数a，b∈（1，+∞），且a+b=ea+ln b+1，e为自然对数的底数，则（）.

A.1<b<a

B.a<b<ea

C.ea<b<e2a

D.ea<b<e3a

方法变式〔2023届湖北省鄂东南省级示范教育教学改革联盟学校高三（上）期中数学试卷〕已知a=e－2，b=1－ln 2，c=ee－e2，则（）.

A.c>b>a

B.a>b>c

C.a>c>b

D.c>a>b

2 技巧方法的应用

技巧方法类的题目，侧重于高阶思维的培养，通过对题干信息进行一系列加工处理，抓住问题的整体结构使问题得到巧妙解决，在解题感悟的基础上加以合理应用.

例2若存在非零实数t，使t+1t2+at+1t+2b=0（a，b∈R）成立，则a2+4b2的取值范围是.

解析：依题，借助变量主元思维，可以将t+1ta+2b+t+1t2=0看作直线方程，设点P（a，2b）为直线t+1tx+y+t+1t2=0上任意一点，a2+4b2即为点P与坐标原点O的距离的平方.

数形结合可知（a2+4b2）min=t+1t2t+1t2+12=t+1t2+1－12t+1t2+1=t+1t2+1+1t+1t2+1－2.由于t+1t2+1=t2+1t2+3≥2t2×1t2+3=5，当且仅当t2=1t2，即t=±1时等号成立，结合双勾函数y=x+1x在区间[5，+∞）上单调递增，因此可知

（a2+4b2）min=5+15－2=165.

故a2+4b2的取值范围是165，+∞.

点评：该问题中，以含有多变量的方程问题为切入点，把代数式中的主元与常量进行换位（即将主元看作常量）处理，借助技巧方法，让学生产生一种认识上的转化，有助于打破思维定式.

3 教材阅读的拓展

数学阅读与思考是解决问题的关键.合理利用教材阅读材料进行作业设计或选题，以促进数学解题感悟，一方面呈现知识的来龙去脉，突出数学概念的本源，另一方面在落实“四基”的基础上丰富学生的数学视野.

例3〔2024年浙江省9+1高中联盟高考数学模拟试卷（3月份）·13〕应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图1

（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，且∠NF2F1=45°，tan∠NF1F2=14，△NF1F2的面积为10，|O1F2|=8，则抛物线的方程为.

解析：不妨设F1（－c，0），F2（c，0），N（x0，y0）（x0>0）.由∠NF2F1=45°，tan∠NF1F2=14，可得x0=35c，y0=25c.又S△NF1F2=12|F1F2|·y0=25c2，即25c2=10，解得c=5，可得O1（－3，0），则抛物线的方程为y2=32（x+3）.

点评：问题背景源于数学选择性必修第一册教材（2019人教A版）第140页“阅读与思考”——圆锥曲线的光学性质及其应用.题目结合背景素材对知识进行开发与整合，将具体问题转化为求解焦点坐标的问题，并通过带参的三角形面积问题进行转化，为求解抛物线方程提供条件.由此可见，教材中大量的阅读素材为多样化的教学设计提供了良好的信息载体，教学中可根据不同的学习需求，聚焦于学生自主学习的能力表现，设置层次清晰的问题供学生练习.同时，也可考虑同主题的多文本阅读内容，让学生在信息检索中多角度理解数学概念的内涵与外延，拓展解题感悟，同时发展个人的数学观.

4 真实情景的融合

区别于传统的解题法训练，“无情境不命题”的思想使数学学科与生活联系更为紧密，因此，结合“建模式”典型问题，更深层次促进解题感悟，可让学生在解决问题中实现知识的正向迁移.

例4（2024年浙江省杭州市高三年级第二学期教学质量检测试卷试卷·14）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图2所示，该纸杯母线长为12 cm，开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于.

解析：依题将纸杯进行“几何化”处理，如图3所示，则cos∠SAB=13.

在△ABC中，AC=6，AB=8，由余弦定理得BC=217，从而可知椭圆长轴长2a=217，即a=17.

由SO=122－42=82，可得CD=12SO=42，则O′E=12CD=22，其中O′是BC的中点，即为对应椭圆的中心，点D，O，E分别为点C，S，O′在圆锥底面内的射影.

综上可得DO=2，OE=1，F为过点O′且平行于底面的截面圆的圆心，则OF=O′E=22.结合比例关系可得FM=3，则MN为椭圆的短轴长，如图4，在Rt△MFO′中，MN=42=2b，则b=22.

所以c=a2－b2=3，则椭圆的离心率e=ca=31717.

点评：解题教学中考虑不同知识之间的交汇与融合，是检验学生应用基础知识、思想方法解决综合问题的有效途径，也是评估深度学习理念下单元教学成效的一种表现形式，更能深刻体现学生的数学解题感悟与应用.以上问题中，借助立体几何场景，巧妙引入圆锥曲线知识，突破学习中空间与平面的维度界限，建立数与形的转化通道，关联各主干知识，使学生分析、解决问题的能力得到锻炼，符合新高考由“知识立意”向“能力立意”的转变.

在“三新”背景下，随着“双减”政策与新课改理念的进一步落实，对高中数学教学与学习过程中教学设计的质量与效益有了更高的要求.以生为本，适度取材，梯度设计，从不同层面入手，为学生知识探究提供广泛空间，使不同学生在数学学习中都有所发展，不断进行数学解题感悟，达到“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”，从而促进学生数学关键能力与创新应用意识得到更进一步发展，体现深度学习的价值.