结合2024年高考题谈函数概念与性质的复习

函数的概念与性质不仅是函数学习的起点，也是解题的关键所在.只有真正掌握了这些基本内容，在遇到复杂的函数问题时，才能迅速找到切入点，有效地解决问题.因此，学生要对函数的概念与性质给予足够的重视，认真学习、反复练习，确保能够熟练掌握和灵活运用.教师通过对高考数学函数概念与性质试题的研究，能够为实际教学带来一些有益的思考和针对性启示，促进教学质量的提升.

1 高考数学真题中函数题目的特点

1.1 题目类型多样化

从题目类型的视角来看，函数题目的展现形式丰富多样.其中有不少针对基础知识点设计的单选题和多选题，用以检验考生对函数知识的基本理解.

例1（新高考Ⅰ卷第6题）已知函数f（x）=－x2－2ax－a，x<0，ex+ln（x+1），x≥0在R上单调递增，则a的取值范围是（）.

A.（－∞，0］

B.［－1，0］

C.［－1，1］

D.［0，+∞）

该题就考查了函数的单调性.

例2（新高考Ⅱ卷第11题）设函数f（x）=2x3－3ax2+1，则（）.

A.当a>1时，f（x）有三个零点

B.当a<0时，x=0是f（x）的极大值点

C.存在a，b使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴

D.存在a使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心

本题考查了指数函数与对数函数的单调性、二次函数的图象与性质，要求考生进行深入分析与探究，对综合运用能力有较高的要求.

例3（天津卷第15题）已知函数f（x）=2x2－ax－|ax－2|+1有唯一零点，则a的取值范围为.

例4（新高考Ⅰ卷第18题）已知函数f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值;

（2）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形;

（3）若f（x）>－2，当且仅当1<x<2，求b的取值范围.

这些题目涵盖的知识范畴相当广泛，不仅涵盖了函数的基本性质这一核心要素，还融入了函数图象分析、导数应用、不等式处理等多个维度.这种多元化的题型设置，旨在全方位地评估考生对函数知识体系的掌握深度和应用能力.

1.2 注重基础知识的考查

函数题目在考查学生对基础知识的理解和应用方面显得格外重要.这包括函数的定义域、值域这些基本概念，以及单调性、奇偶性等核心性质.

例5（天津卷第4题）下列函数是偶函数的是（）.

A.y=ex－x2x2+1

B.y=cos x+x2x2+1

C.y=ex－xx+1

D.y=sin x+4xe|x|

例6（上海卷第2题）已知函数f（x）=x，x>0，1，x≤0，则f（3）=.

有些题目通过巧妙的设计，对基础知识进行变形或拓展，以此来检验考生对知识的深度理解和创新应用能力.

例7（新高考Ⅰ卷第13题）若曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a=.

例8（新高考Ⅰ卷第8题）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）>f（x－1）+f（x－2），且当x<3时，f（x）=x，则下列结论中一定正确的是（）.

A.f（10）>100

B.f（20）>1 000

C.f（10）<1 000

D.f（20）<10 000

这种对基础知识的深入考查，不仅有助于考生夯实数学基础，提升解题能力，更为他们未来更高层次的数学学习提供了坚实的支撑.

1.3 强调综合运用能力

在高考数学的领域中，函数并非一个孤立的知识点，而是与其他数学内容紧密交织、相得益彰.函数题目经常与不等式、数列、解析几何等诸多知识点交融共生，形成了一道道综合性极强的难题.

例9（新高考Ⅱ卷中第16题）已知函数f（x）=ex－ax－a3.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

例10（上海卷第18题）若f（x）=logax（a>0，a≠1）.

（1）y=f（x）过（4，2），求f（2x－2）<f（x）的解集；

（2）存在x使得f（x+1），f（ax），f（x+2）成等差数列，求a的取值范围.

这类题目对考生的要求极高，不仅需要掌握各个知识点的基础知识，还需要具备灵活运用这些知识的技巧和方法.解题时需要深入分析题目，找出题目中的关键信息，进而运用所学知识进行推理和计算，最终得出正确答案.这种综合性的考查方式，不仅能够有效检验考生的数学素养和解题能力，更能够培养他们的逻辑思维和创新精神.

2 函数概念与性质的复习策略

函数概念与性质的复习策略如图1所示.

2.1 深入梳理与巩固函数基础知识

备战高考数学，对函数基础知识的深入梳理和巩固显得尤为关键.学生首先要系统回顾函数的定义和特性，明确函数是从定义域到值域的映射，解函数的不同表示方法，并能在实际中灵活加以运用.其次，深入理解函数的定义域和值域，这关系到能否准确判断函数自变量和函数值的范围.在掌握这些知识的基础上，还要重点把握函数的单调性和奇偶性.单调性关乎函数在特定区间上的变化趋势，而奇偶性则体现了函数图象的对称特点.除了基本性质，函数的运算与复合同样关键.运算涉及加、减、乘、除，复合则是将一函数输出作为另一函数输入.这些操作丰富了函数的表达形式，提升了解决问题的灵活性.在巩固函数基础知识时，需结合理论与实践，通过适当的练习与应用，这样学生才能够更好地理解和掌握函数的基础知识，提高自身的解题能力和数学素养.

2.2 加强专题训练与技巧提升

在夯实了函数的基础知识之后，加强专题训练与技巧提升成为关键步骤.对于函数的定义、性质等核心要点，教师应设计出具有针对性的专项练习题，这些练习题应兼具深度与广度.在此过程中，学生不能仅仅满足于做题的数量，更要注重做题的质量.每做完一道题，都应进行深入的分析和总结，理解题目考查的知识点、解题思路和可能存在的陷阱.这样，学生在面对同类型题目时，才能够迅速找到解题的切入点，提高解题效率.此外，历年高考真题和模拟题也是学生进行专题训练的重要资源.通过分析这些题目，学生可以了解到函数题目的出题规律和常考知识点，进而掌握解题技巧和方法.

2.3 注重综合应用与能力提升

在复习函数知识时，学生更应聚焦于它的综合应用，以及如何在实践中提升自身的解题技巧和思维能力.首先，函数与其他数学知识点，如不等式、三角函数、导数等存在着千丝万缕的联系.这就意味着在复习过程中不能孤立地看待函数，而应该将它放在一个更为宽广的数学体系中来理解和应用.通过整合练习，学生可以更好地把握函数与其他知识点的内在联系，从而在实际问题中灵活加以运用.其次，注重函数的综合应用，意味着学生需要更多地接触和解决实际问题.通过分析、解决这些问题，学生可以更加深入地理解函数的本质和特性，同时也能提升自身的解题能力和实践技能.此外，学生还应该关注一些新颖、有挑战性的函数题目.这些题目往往能够激发学生的学习兴趣和热情，同时也能帮助其拓展视野，培养创新思维和解题能力.

2.4 关注高考趋势与动态调整复习策略

在当前高考数学命题变革与创新的大背景下，教师、学生都需要紧密关注函数部分的命题趋势与核心要点，以确保复习方向与考试要求紧密相连，不偏离考试核心.为了做到这一点，教师首先要仔细研读并深入研究数学课程标准以及相关的命题解析资料，这些资料中往往蕴含了命题专家对高考数学命题趋势的精准判断和预测.通过仔细研读，教师可以清晰地了解函数题目的命题方向、考查重点以及潜在的出题陷阱，从而在解学时做到心中有数，应对自如.其次，针对函数部分的重点知识点和难点题型，教师可以帮助学生制定更加具有针对性的复习计划，通过多做题、多总结、多反思来提升学生的解题能力和思维水平.此外，教师还要引导学生对错题进行反思和总结，找出不足之处，并制定相应的改进计划，以提高应对高考数学函数概念与性质试题的能力.