源于一道错题的生成性教学

摘要：真实记录由一道错题引起的，在备课过程中、上课过程中、课后研究中、两周后的考试中的生成性教学，阐述它们生成的原因、过程和结果，并收获了高考的意外之喜.

关键词：错题；生成性；教学

生成性教学的概念有多种描述，不同的教师有不同的理解.本文中认为，生成性教学是指教师根据教学过程中出现的信息和问题，及时调整教学思路和教学行为，积极引导教学活动深入持久地进行下去，生成新的超出原计划的教学流程，完成新的教学目标的教学形态.它强调教师、学生、文本三者的互动和教学事件，关注教学过程的附加价值.本文记录源于一道错题的生成性教学的全过程，供大家参考.

1 在备课中发现错误，生成新的教学内容

在2023届高三总复习教学中，笔者使用的是《三维设计》，在第221页碰到如下例题.

例1某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球.规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.

（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；

（2）记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列.

备课时发现，第（2）问的运算量太大，估计2个小时做不出来，于是去看参考答案，参考答案如下：

设顾客摸奖一次获得的奖金数额为Y，Y的可能取值为0，10，20，30，40，

则P（Y＝0）＝14，P（Y＝10）＝A12A24＝16，P（Y＝20）＝1A24+

A22A34=16，P（Y＝30）＝

C12＼5A22A34=16，

P（Y=40）=

A33A44＝14.

所以，1名顾客5次摸奖获得奖金数额X＝5Y的分布列如表1所示.

容易发现，X的可能取值是0，10，20，30，40，50，60，……，190，200，而不仅仅是0，50，100，150，200，所以参考答案是错误的.错误的原因是：设顾客摸奖一次获得的奖金数额设为Y，则顾客5次摸奖可以看成5次独立重复试验，因为Y的可能取值是0，10，20，30，40，Y不服从两点分布，所以X不服从二项分布，参考答案把它当作二项分布，所以出错了.

如果用Yi（i=1，2，3，4，5）表示顾客第i次摸奖获得的奖金数额，则X=Y1+Y2+Y3+Y4+Y5，由于X不服从二项分布，所以求X的分布列在高中阶段没有公式可以应用，只能直接求解，导致运算量非常大，学生很难完成.参考答案错了，正确答案又很难完成，估计命题者是按错误思路来命题的，因此，这个例题可以理解为一道错题，教学的选择之一是把这道题删除掉，让学生不去做它，但笔者认为这个例题提供的问题情景很好，决定对例题进行改造，提出如下两种改法.

改法一：改变条件，使X服从二项分布.把“摸到白球或黄球奖励10元”改为“摸到白球或黄球无奖励”，其他条件不变，这种改法使得顾客1次摸奖获得的奖金数额为0元或20元，1次摸奖获得的奖金数额是两点分布，因此能用二项分布解题（解略）.

改法二：改变条件，使X便于计算.把“1名顾客5次摸奖”改为“1名顾客2次摸奖”.问题（2）变为“记X为1名顾客2次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列”.这种改法减少了摸奖的次数，减少了运算量，让学生能够在课堂内完成，相应的解法如下：

设顾客摸奖一次获得的奖金数额设为Y，可以得到Y的分布列如表2所示.

则X的可能取值是0，10，20，30，40，50，60，70，80，所以

P（X=0）=14×14=116，

P（X=10）=2×14×16=112，

P（X=20）=14×16+16×16+16×14=19，

P（X=30）=14×16+16×16+16×16+16×14=536.

X=40，50，60，70，80的概率同理可得，则X的分布列如表3所示.

改法一和改法二的例题难度适当，符合学生的认知水平，是很好的例题.改法一的例题是常规题，改法二的例题有新情景，它是不服从二项分布的和事件的分布列问题，能拓展学生的思路，所以笔者决定在课堂上采用改法二进行教学.这样，在备课过程中改编出两道例题，生成新的教学资源.

2 在上课过程中生成新的教学内容

笔者采用改法二的例题上课，并告诉学生更改理由是：运算量太大，很难计算出来，所以把“顾客5次摸奖”改为“顾客2次摸奖”.总结时，有学生提出，以此为基础，可求“顾客3次摸奖获得的奖金数额的分布列”.笔者看课堂上还有时间，就决定不讲其他内容，让学生当场解决这个问题，结果得到两种解法.

例2（前面的内容与例1完全相同，略去.）

（2）记X为1名顾客3次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列.

解法1：利用改法二中的表2和表3可得，X的可能取值为0，10，20，30，……，100，110，120，则

P（X=0）=116×14=164，

P（X=10）=116×16+112×14=132，

P（X=20）=116×16+112×16+19×14=596，

P（X=30）=116×16+112×16+19×16+536×14=67864.

X取其他值的概率同理可得，则X的分布列如表4所示.

解法2：直接利用改法二中的表2计算，X的可能取值为0，10，20，30，……，100，110，120.

计算方法如下：由于X=20可以由20，0，0，和10，10，0，组成，则P（X=20）=C13×16×142+C23×162×14=596，

同理，

P（X=0）=143=164，

P（X=10）=C13×16×142=132，

P（X=30）=C13×16×142+A33×16×16×14+163=67864，

X取其他值的概率同理可得，则X的分布列如表4所示.

求顾客3次摸奖获得的奖金数额的分布列，以及上述两种解法，备课时是没有想到的，它是在上课的过程中生成的.

3 课堂外生成的研究性学习

在总结例2第（2）问的两种解法时，笔者和学生发现例1是可以解的，求“顾客5次摸奖获得的奖金数额的分布列”，可以类似解法1，用“顾客2次摸奖和3次摸奖获得的奖金数额的分布列”相加求得，或用“顾客1次摸奖和4次摸奖获得的奖金数额的分布列”相加求得；也可以类似解法2，由表2直接计算得到.由于估计运算量很大，笔者没把它作为作业题，而是告诉学生，可以把它当作研究性学习的内容，有时间的话课外去完成.几天以后，有20多位学生把它做出来了，有多种方法，答案有正确的，也有错误的，现选择如下一种做法：

解：设顾客摸奖一次获得的奖金数额设为Y，则Y的分布列如表5所示：

所以X的可能取值为0，10，20，30，40，50，……，180，190，200.

以X=50为例，则X=50可以由下列6组数据组成：

40，10，0，0，0；30，20，0，0，0；

30，10，10，0，0；

20，20，10，0，0；

20，10，10，10，0；10，10，10，10，10.

那么

P（X=50）=A25×16×144+A25×162×143+C15×C24×163×142+C25×C13×163×142+A25×164×14+165=1 33935×27=1 33931 104.

同理，P（X=0）=145=11 024，

P（X=10）=C15×16×144=53×29=51 536，

P（X=20）=C15×16×144+C25×162×143=3532×29=354 608，

P（X=30）=C15×16×144+A25×162×143+C35×163×142=20533×29=20513 824，

P（X=40）=C15×145+A25×162×143+C25×162×143+C15×C24×163×142+C45×164×14=2 28534×210=2 28582 944，

P（X=60）=P（X=140）=1 89535×27=1 89531 104，

P（X=70）=P（X=130）=27533×27=2753 456，

P（X=80）=P（X=120）=1 35533×29=1 35513 824，

P（X=90）=P（X=110）=2 24534×28=2 24520 736，

P（X=100）=2 32134×28=2 32120 736，

P（X=150）=1 33935×27=1 33931 104，

P（X=160）=2 28534×210=2 28582 944.

P（X=170）=20533×29=20513 824，

P（X=180）=3532×29=354 608，

P（X=190）=53×29=51 536，

P（X=200）=145=11 024，

从而得到X的分布列.

上述运算和验证过程相当繁琐，笔者用了5个小时才完成，显然它不适合作为考题，但作为优秀生的研究性学习材料是合适的.学生能够把运算量这么大的题目做出来，是笔者备课时没有想到的，在不少学生做出来后，笔者不得不去做才生成的结果.

4 在后续教学中生成拓展性内容

两周后的一次考试，又碰到下列题目：

例3某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1 900万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图1所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.

（1）（略）.

（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.

①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；

②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）

本题要求出6年净利润的期望值，必须先求出该产品六年销售总量的期望值，用Y表示该产品一年的销售量（单位：万件），则Y的分布列如表6所示.

所以，Y的数学期望E（Y）=12×0.05+16×0.35+20×0.3+24×0.2+28×0.1=19.8.

六年可以看成6次独立重复试验，用X表示该产品六年的销售总量，

则有E（X）＝E（6Y）

＝6E（Y）＝118.8，这

里用到了新教材人

教A版选择性必修三

第64页给出的结论

：E（aX）=aE（X）.

因为Y的可能取值是12，16，20，24，28，Y不服从两点分布，

经过前面的错题分析，有

的学生反而不敢用了，以

为它不服从二项分布，用

了会出错.究其原因，在

于学生只是记住了结论，

对公式的推导和应用背景

不熟悉.

笔者决定把这个问题讲清楚，于是引入下面公式：

设X1，X2，……，Xn是n个随机事件，则有

E（X1+X2+……+Xn）=E（X1）+E（X2）+……+E（Xn），①

即和事件的期望等于每一个事件期望的和.这个公式不是只适合二项分布，

而是所有的事件都适合.它

在高中是不作要求的，教学大纲和教科书里都没有出现.

笔者把这个公式给了学生．公

式的证明对高中生有些难度，

为了让学生有一定的体会，笔者编制了具有公式①最简单形式的题目让学生证明，具体如下.

例4设随机变量X1，X2的分布列如表7、表8所示，求证：E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）.

证明：E（X1）=a1p1+a2p2，E（X2）=b1q1+b2q2+b3q3，而X1+X2的分布列如表9所示.

故E（X1+X2）=（a1+b1）p1q1+（a1+b2）p1q2+（a1+b3）p1q3+（a2+b1）p2q1+（a2+b2）p2q2+（a2+b3）p2q3=a1p1（q1+q2+q3）+a2p2（q1+q2+q3）+b1q1（p1+p2）+b2q2（p1+p2）+b3q3（p1+p2）=a1p1+a2p2+b1q1+b2q2+b3q3=E（X1）+E（X2）.

这样，我们帮助学生进一步认清原

有公式的适合条件，厘清了不太确定的

数学认知，又

给出了新的公式，并部分给予证明，帮助学生构建新的认知，生成新的知识结构，使本次生成性教学更加完整.

5 意外之喜

学生高考时碰到了下面题目：

例5（2023年高考新课标数学全国Ⅰ卷第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）（略）；（2）（略）；

（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=qi，i=1，2，……，n，则E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.

分析：这道高考题第（3）问提供的新公式和补充的公式①几乎是一样的，即和事件的期望等于每一个事件期望的和，它是公式①的一种特殊情况.高考时，笔者的学生很快就理解了第（3）问提供的新公式，并会应用它，这种收获，又是一种生成性结果，算是意外之喜.

从这个例子可以看出，生成性教学贯穿教学的全过程，可以在备课活动中生成，可以在上课过程中生成，可以在课后的练习和课外的研究中生成，可以一次性生成，也可以分阶段多次生成.只要我们用心教学，关注学生，关注教学过程，总能发现闪光点，生成新的超出原计划的教学，完成新的教学目标，提高学生的数学能力，培养学生的数学核心素养.