渗透数学抽象素养的三角函数同角关系教学策略探究

摘要：通过借助单位圆作出几何解释、引导学生利用整体换元思想以及充分发挥几何直观方法的价值，提出了一些教学思路.此外，还提出了三个具体的教学策略，即重视相关公式的记忆、加强热点题型的训练、重视多媒体教学工具.

关键词：数学抽象；三角函数；同角关系；教学策略

高中数学作为基础学科，其核心素养的培养一直是教育工作者关注的重点.《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了数学抽象作为核心素养之一，帮助学生在不同情境下，准确理解和应用抽象数学概念和规则，概括和推广一般数学规律，提高抽象数学思维和创造力.在数学教学中，三角函数是一个重要的知识点，也是培养学生数学抽象素养的重要内容之一.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将三角函数知识放在了函数主线之中，更加突出了其函数属性.由于同角三角函数的抽象性和复杂性，许多学生在学习时遇到了困难，导致学习效果不佳.因此，本文中旨在探究如何通过有效的教学策略，加强学生对三角函数同角关系的理解和掌握，并渗透数学抽象能力的培养.

1 渗透数学抽象素养的教学思路

1.1 利用单位圆进行几何解释

数学抽象能力是指学生能够将具体的事物、现象和问题抽象为数学对象，并运用数学语言和符号进行描述、分析和解决问题的能力.在三角函数的定义中，角度的度量方式有弧度制和角度制两种，而单位圆则是将角度与弧度制联系起来的重要工具.在单位圆上，每个点对应一个角，点的横纵坐标即为三角函数值，因此在渗透数学抽象能力的三角函数同角关系教学中，借助单位圆作出几何解释可以帮助学生更好地理解三角函数同角关系，同时借助单位圆还能够引导学生通过可视化的方式去思考和解决问题，提高他们的数学抽象能力.

根据新课标的要求，在三角函数同角关系的教学中，应该创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，激发学生的求知欲与学习兴趣，进一步揭示数学知识的发现、猜想、验证、运用、反思的全过程，最终实现对学生数学核心素养的培养.

因此，在教学中，可以先引入单位圆的概念和性质，再结合三角函数的定义和性质，引导学生通过观察单位圆上的点在坐标系中的运动轨迹，理解正弦、余弦和正切函数的定义和性质，进而掌握三角函数的同角关系.

1.2 引导学生利用整体换元思想

整体换元思想是指通过将一些基础的三角e38a+ASAcJVxVjBkoE3Kah8PBUTJvIuusGY3JWbKOHU=函数同角关系公式进行简单的代数变换，从而得到新的三角函数同角关系公式.这种思想在三角函数同角关系的学习中具有十分重要的作用.利用整体换元思想，学生只需要掌握一部分基础公式，就能够推导出所有的诱导公式.这对于提高学生的学习效率和抽象思维能力非常有帮助.同时.整体换元思想的应用也有助于学生理解三角函数同角关系公式之间的逻辑关系.在教学中，引导学生利用整体换元思想，可以采用实例演练的方式.教师可以先给出一个基础公式，然后通过代数变换的方式引导学生推导出其他相关的诱导公式［1］.这种方式能够帮助学生更好地理解三角函数同角关系的本质，并且加强他们的抽象思维能力.除此之外，教师还可以设计一些综合性的应用题，让学生利用整体换元思想解决实际问题，从而更好地理解和掌握三角函数同角关系的知识.通过这种方式，学生不仅能够在应用中理解和掌握知识，同时还能够提高数学建模能力.

1.3 充分发挥几何直观方法价值

几何直观方法可以让学生更加深入地理解三角函数同角关系的本质，提高其数学抽象能力.具体来说，可以通过图象的展示和解释，促使学生形象化地理解三角函数同角关系中的各个概念和公式，从而激发学生的数学兴趣和创造力.通过引导学生绘制三角形和单位圆，促使学生直观感受三角函数同角关系的几何本质.比如，在三角形中，可以引导学生观察正弦、余弦和正切函数的定义及其性质，让学生通过观察图象，感受不同角度下三角函数的变化规律.在单位圆中，可以引导学生理解三角函数同角关系的基本概念，如弧度、正弦、余弦、正切等，让学生通过观察图象，感受三角函数的图象变化规律，以及三角函数之间的关系.

2 渗透数学抽象素养的教学策略

2.1 重视相关公式的记忆

同角关系中的诱导公式是一个更为复杂的公式类别，其主要功能在于揭示不同角度的三角函数值间的关系.深入理解和熟练掌握这些公式，对学生运用同角三角函数关系解决实际问题非常重要.

在教学过程中，采用多模态记忆策略，如口头朗读、书写以及反复复习等方式，帮助学生牢固记忆诱导公式.在学生对同角三角函数基本关系式理解的基础上，进一步通过生动的实例演示和几何解释，促进他们对这些公式的深刻理解.

对此，利用基本的几何原理，如三角形的内角和为180°，通过绘制直观的图形，清晰地展示由正弦、余弦的定义如何推导出正切.这种方式可以帮助学生直观地理解同角三角函数之间的联系，深化他们对公式的理解.

当学生掌握正弦、余弦诱导公式后，进一步通过实例演示和几何解释，促使他们更深入地理解这些公式以及其在实际问题解决中的应用.详细地展示如何根据正弦和余弦的诱导公式推导出正切的诱导公式，并引导他们理解诱导公式在实际问题解决中的应用.这样不仅加深了学生对诱导公式的理解，也提高了他们灵活应用公式解决实际问题的能力.

2.2 加强热点题型的训练

通过针对关键问题的特定训练，学生可以提升解题技能、创新思考和广泛的应用能力，从而更全面地理解和掌握同角关系的相关知识，并灵活地将这些知识应用于实际问题中.这种训练方法适用于教育实践，目的在于引入持续练习的原则，以逐渐提高学生的问题解决能力和抽象思维能力.

在实际教学环境中，将重要问题的训练集成到教学过程中，构建一系列的练习题，引导学生进行现实操作.通过这种实践方式，学生能够利用已学的知识解决实际问题，进一步加强对同角关系的理解和应用.通过以学生为中心的实践方法，可以发展他们解决问题的能力和策略.

在学生完成一系列的练习后，进行总结和归纳.引导学生深入思考各种解题策略和方法的利弊，并协助他们总结出有效的问题解决策略.这样的总结过程有助于促进学生的抽象思维和分析能力的发展，加深他们对同角关系知识点的理解，同时，这也有助于他们灵活地将所学知识应用于其他相关问题的解决［2］.

例如，（1）在解决有关三角形问题时，需要注意观察题目中是否存在等式关系，以及是否存在边和角的齐次关系.通过观察，将边和角的关系互化，可以有效化简和解决问题.如“a=b”可转化为“sin A=sin B”等（也可角化边），a2=2b不可转化为“sin 2A=2sin B”.

（2）当题目中出现同角正余弦之积或半角二倍角公式化简，出现sin Acos C+sin Ccos A时，可以合并为sin（A+C）.

（3）在解决边之比与角之比可以互化，出现平方项或两边乘积时，一般用余弦定理来代换或求解.

（4）当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑利用同角三角函数平方关系式，通过解方程的方法解出.

对历届高考试题的类型和难易度进行细致梳理，并针对这些重点设计相关训练题目，有助于学生更深入地理解高考试题的命题模式和解题策略.将历年高考题目按照题型进行分类，并深入剖析各类型题目的解题思路和方法，可有效帮助学生深化对解题策略的理解和应用，从而提高其问题解决能力.

如，将解三角形之求三角函数值的范围问题归纳成一个专题，如图1所示.

专题解三角形之求三角函数值的范围

【解题策略】面积、范围问题的两个解题技巧：①建立边、角之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出；②全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围.

【小试牛刀】

1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2（acos C+ccos A）cos C+b=0.

（1）求角C的大小;

（2）求sin2A+sin2B的取值范围.

2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Bsin C=sin2B+sin2C-sin2A.

（1）求角A;

（2）求cos B+cos C的最大值.

3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B=-12.

（1）若a=2，b=23，求△ABC的面积；

（2）求sin A＼5sin C的取值范围.

【真题演练】

1.（2022年全国Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

2.（2019全国Ⅲ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=b sin A.

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

3.（2013新课标Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcos C+csin B.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值

图1

2.3 重视多媒体教学工具

为帮助学生更好地理解和掌握同角关系的知识点，教师在教学中可以借助单位圆作出几何解释、引导学生利用整体换元思想和充分发挥几何直观方法价值等渗透数学抽象素养.通过对教学思路的阐述，本文中提出了几种教学策略，即重视相关公式的记忆、加强热点题型的训练和重视多媒体教学工具，这些策略在教学实践中具有一定的可行性和有效性，可以帮助学生更好地掌握三角函数同角关系的知识点，并能够将所学的知识灵活应用于实际问题中.

参考文献：

[1]张长贵.基于TPACK理论的“函数y=Asin（ωx+φ）”的教学与思考[J].数学通报，2022，61（4）：31-36.

[2]叶立军，戚方柔.指向学科核心素养的大概念教学机理及教学策略[J].教学与管理，2021（6）：91-93.