数学史融入高中数学课堂的实践探讨

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学文化应融入高中数学教学活动，教师应有意识地引导学生了解数学的发展历程，感悟数学的价值，提升学生的学科精神、应用意识和人文素养，激发学生的数学学习兴趣，开拓学生视野，提升数学学科核心素养.数学史是一种非常重要的教学资源，是渗透数学文化的有效途径之一.教师通过还原数学历史或结合学生的认知水平适当地改编历史，将数学史融入数学教学活动中，有助于学生了解数学的本质，激发学生学习数学的兴趣，从而提升教学质量.

数学家与数学教育家也十分重视数学史的价值，M＼5克莱因认为“数学史是教学的指南”，宋乃庆教授和张奠宙教授均认为“学习数学史有助于我们理解数学的本质”.自新一轮课程改革以来，越来越多的数学史渗透在高考题中.因此，探讨如何将数学史融入高中数学课堂教学中，具有重要的意义.本文中将以“数系的扩充与复数的概念”的教学为例展开研究.

1 教学设计与实施

1.1 创设情境，引出研究问题

探究1：请同学们小组合作，完成下列“拆数游戏”，并思考其对应一个什么数学问题？

①将4拆成两个数即和，使其乘积为3；

②将4拆成两个数即和，使其乘积为2；

③将4拆成两个数即和，使其乘积为5.

生：将4拆成x和4－x，使它们的乘积为一个定值，本质上是解方程x（4－x）=a，取a=3，2，5.

追问：若使用配方法求第③个方程的解，会出现（x－2）2=－1在实数范围内无解的情况，这可以进一步简化为哪一个方程是否有解？

生：方程x2=－1是否有解.

教学说明：通过改编历史上卡丹拆数的故事设计了“拆数游戏”（即解方程）来引入，体现数学问题来源于生活问题（游戏），引导学生意识到这三组拆数游戏本质上是在求解一元二次方程，其中第三个方程（x－2）2=－1在实数范围内无解，进而引出一般性的研究问题——方程x2=－1在R中无解，是否存在某个数集，使得此方程在该数集内有解？

1.2 合情推理，引入新数

师生活动：教师引导学生回忆，在以往的学习过程中也遇到过类似的方程在给定数集内无解的情况，例如方程x+1=0在自然数集中无解，我们通过引入新数（负数）和新符号（负号“－”），将自然数集扩充为整数集，使得方程x+1=0在整数集中有解，从而解决了现实生活中与之对应的负债等实际问题.按照这一思路，教师带领学生回顾自然数系到实数系的扩充过程（如图1）.

问题1对于方程x2=－1在实数系中无解的问题，你认为可以如何解决？

生：引入新数和新符号将实数集扩充，使得方程x2=－1在新数集中有解.

教学说明：以数学内部的发展需求（解方程的需要）和生活实际问题为线索，回顾从自然数系到实数系的扩充过程，引导学生自然而然地想到，可以通过引入新数去解决x2=－1在R中无解的问题，变生硬接受为主动地“创造”，为引入复数做好铺垫.

追问1：引入的新数需要满足什么？

生：新数要满足方程x2=－1，也即它的平方需等于－1.

师：历史上，瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出引入新数“i”，使i2=－1，这样x=i就是方程x2=－1的一个解.其中“i”是“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的，我们把这个数称为“虚数单位”.引入新数后实数系得到扩充，在新数集中规定的加法和乘法运算，与实数集中规定的加法和乘法运算及运算律协调一致.

追问2：已知i2=i＼5i=－1，则i3=，i4=.

生：i3=i2＼5i=－i，i4=i2＼5i2=1.

师生活动：学生思考、口答，教师点评，使学生熟悉i2=－1，并引导学生思考in的取值.最后教师介绍欧拉生平以及充满数学和谐美的式子（欧拉公式）——eiπ+1=0.

教学说明：教师介绍与虚数单位i有关的历史，并结合追问强化对虚数单位的认识，最后科普欧拉及欧拉公式的相关历史，对学生进行人文教育和数学美育，激发学生探秘数学的兴趣.

1.3 抽象概括，深化理解

师：新数的形式又是怎样的呢？回顾有理数集扩充后，将有理数与新引入的无理数进行“组合”（即做加法、乘法运算）就得到了新数，例如有理数4加上无理数3就得到实数4+3，有理数2乘无理数2就得到实数22，有理数12加上有理数－1与无理数3的积就得到实数12－3.类似地，实数集扩充后，将实数与新引入的虚数i进行“组合”，就可以得到新数.

探究2：任选实数－2，1，0，57，3，π与虚数i进行任意“组合”，能得到哪些结果？请同学们小组合作，写出你们组合出来的新数.

师生活动：学生小组合作，写出可能的新数形式，例如－2+i，3－i，-2i…….教师请某一小组的学生将他们写出的新数板书在黑板上，其他小组可以补充.

追问1：你能归纳出上述新数的统一表达形式吗？

生：a+bi，其中a，b∈R.

追问2：你能写出新数集的集合吗？

生：形如{a+bi|a，b∈R}.

师：我们称这种形式的数为复数z，对应的新数集为复数集C={a+bi|a，b∈R}.其中实数a称为复数的实部，实数b称为复数的虚部.

教学说明：通过“组数游戏”，引导学生类比自然数系到实数系的扩充过程中所遵循的“规则”，由特殊到一般，抽象概括出复数的结构形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升学生的逻辑推理和数学抽象等核心素养，从而突破本节课的教学难点.

问题2你能将写出来的新数进行分类吗？分类的依据是什么？

生：对于复数a+bi（a，b∈R），当b=0时，复数a是一个实数；当b≠0时，复数a+bi是虚数，特别地，当b≠0且a=0时，复数bi是纯虚数.

追问：请用Venn图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系.

生：如图2所示.

问题3复数集和实数集之间有什么关系？

生：实数集R是复数集C的子集.

追问：实数例如0，57，3，π是复数吗？如果是，请将其写成复数的一般形式.

生：实数也是复数，例如3=3+0i，0=0+0i.

教学说明：教师引导学生由特殊到一般、明确复数的分类，能从数和形两个角度深化对复数的理解，并进一步厘清复数集和实数集之间的关系.

师：对于给定的复数2+i，它的实部a=2，虚部b=1；反之，实部为2、虚部为1的复数也是唯一确定的，即2+i.因此，复数2+i和有序实数对（2，1）是一一对应的.

问题4一般地，复数a+bi和有序实数对（a，b）之间具有怎样的关系？

生：一一对应.

追问1：两个复数a+bi（a，b∈R）和c+di（c，d∈R）相等的条件是什么？

生：a=c且b=d.

追问2：特别地，a+bi=0（a，b∈R）的充要条件是什么？

生：a=b=0.

教学说明：引导学生体会复数a+bi和有序实数对（a，b）之间是一一对应的，理解两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等，也就是说复数由它的实部和虚部唯一确定，为后续研究复数的几何意义及复数的三角表示奠定基础.

1.4 运用新知，巩固训练

例1指出下列各复数的实部与虚部，并指出

哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

5+2i，i（1－3），2+7，0，3i－2i2.

例2当实数m取什么值时，复数z=m+1+（m－1）i是下列数？

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

例3已知（x+y）+（y－1）i=（2x+3y）+（2y+1）i，求实数x，y的值.

师生活动：教师用PPT展示例题，例1由学生思考、口答，教师点评，例2、例3由学生独立完成后用多媒体交流展示，教师点评并规范解题步骤.

教学说明：例1考查学生对复数的基本概念及其分类的理解，例2考查学生对复数的分类的掌握情况，例3考查学生对两个复数相等含义的理解.

1.5 反思总结，提炼收获

问题5通过本节课的学习，你收获了哪些数学知识与思想方法？

师生活动：学生思考作答，教师从数学知识和思想方法两个方面进行补充和完善.

（1）数学知识：了解了数系扩充的基本“规则”，复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等），两个复数相等的含义，复数的分类；

（2）思想方法：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法.

教学说明：通过回顾数系扩充过程及复数相关概念，凝练数学知识与思想方法，促使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，积累研究数学问题的经验.

2 教学反思

2.1 历史重现，理解数学本质

在数学课堂中还原数学史或结合学情适当改编历史，可以渗透数学文化和数学精神，促进学生对数学本质的理解.本节课通过改编历史上卡丹拆数的故事，设计了“拆数游戏”来引入，让学生体会数学问题来源于生活问题.笔者结合学情适当改编历史，使问题情境更简化，目的在于引导学生意识到，当遇到方程在原数集中无解时，可以类比自然数系到实数系的扩充过程，通过引入新数、扩充数集来解决问题，使学生感受引入复数的必要性.然后，教师介绍欧拉与复数的渊源，深化学生对虚数单位的理解，并对学生进行人文教育，激发学生学习数学的兴趣.

2.2 游戏探究，发展数学思维

本节课设计了“拆数游戏”，引导学生探究方程的求根问题，感受引入复数的必要性；通过类比自然数系到实数系扩充的一般规则，设计了“组数游戏”，引导学生合作探究复数的基本结构、相关概念和分类.学生通过独立思考、合作探究的方式，在活动中逐步形成并不断深化对复数的理解，主体性得到了充分的体现.本节课以游戏探究的形式，激发了学生的学习兴趣，发展了学生的数学思维品质.

2.3 问题引领，渗透数学思想

本节课通过设置层层递进的问题串，引导学生循序渐进地探究引入复数的必要性、复数的基本结构、相关概念及其分类，学生的思维跟随着教师的问题链不断发生碰撞，认知水平和解决问题的能力不断增强.好的问题可以使整节课串成一个逻辑链条，各环节相互联系、层层递进，利于揭示知识的本质，使学生知其所以然.问题链教学也是最能体现数学逻辑之美的教学方法，通过理性的方式向学生展示数学之美.