新人教版高中数学教材中一道三角函数应用题的商榷

摘要：针对2019年新出版的人教A版普通高中教科书·数学必修第一册第五章“三角函数”的第7节“三角函数的应用”的例2做了深入探讨，提出了不同的见解.

关键词：三角函数；吃水深度；新教材

1 教材中的例题

在2019年新出版的人教A版普通高中教科书·数学必修第一册（下称“新教材”）中，笔者发现第五章“三角函数”的第7节“三角函数的应用”的例2值得探讨，原题呈现如下：

例2海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.表1是某港口某天的时刻与水深的预报.

（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？

解：（1）（2）问的详细解答见新教材第246～247页.其中，水深Y（单位：m）与时间x（单位：h）的关系用函数Y=2.5sin5π31x+5近似描述.

（3）新教材中给出的解答如下：

设在x h时货船的安全水深为y m，那么

y=5.5－0.3（x－2）（x≥2）.

在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看出在6～8时之间两个函数图象有一个交点（图1）.

借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为（7.016，3.995），因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.

2 应用题的探讨

教材中的解答考虑到“这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域”，因此将实际水深恰好等于安全水深的时刻（即点P的横坐标）提早0.4 h，得到约在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.如图1所示，这样在船驶到深水域之前均是安全的，即实际水深大于等于安全水深.

笔者认为上述解答有一定的偏差，具体分析如下：

首先，关于吃水深度的变化，如题干所言，吃水深度是船底与水面的距离，也即货船浸入水下的深度，如图2中h1.由物理学原理知：货船浸到液体中的部分所产生的浮力抵消货船的重力.设货船和货物的总质量为m，海水的密度为ρ，货船在海水中排开液体的体积为V，货船和货物的总重力为G，货船和货物受到的浮力为F浮，重力加速度为g，那么

F浮=G，G=mg，F浮=ρgV.

联立，得m=ρV.

由于海水密度ρ可认为是定值，因此在卸货过程中，随着货物减少，货船和货物的总质量m减少，从而V减少，所以吃水深度会随着卸货而减小.在本情境中，卸货导致吃水深度以0.3 m/h的速度减少.一旦停止卸货，m不再变，从而V也不再变，所以停止卸货后，吃水深度将不再减少.又由于货船在某一时刻需要的安全水深等于该时刻货船的吃水深度h1加上安全条例规定的安全间隙h2=1.5 m，所以停止卸货后的货船需要的安全水深也不再减少.

其次，如题干所言“这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域”，深水域可以完全保证货船不会搁浅，但货船需要用0.4 h的时间完成如关闭舱门、发动船只、由码头经航道驶至深水域等一系列准备工作.在这0.4 h内，货船不卸货、安全水深不变，但航道实际水深由于潮汐现象始终以Y=2.5sin5π31x+5的规律发生变化，其中x为时间（单位：h），Y为实际水深（单位：m）.因此，除了保证货船在码头卸货时水深满足安全水深的要求之外，从货船停止卸货到驶到深水域的这0.4 h的过程中，也要保证水深满足安全水深的要求.

综合以上两点，若在x0时停止卸货，货船需要的安全水深为y0=5.5－0.3（x0－2），x0时以后，货船不再卸货，准备进入深水域，安全水深始终为y0=5.5－0.3（x0－2）.在这个过程中，航道实际水深由停止卸货时的Y1=2.5sin5π31x0+5，减小到（x0+0.4）时刻货船进入到深水域时的Y2=2.5sin5π31（x0+0.4）+5.要保证货船安全，必须使整个驶离过程，即区间［x0，x0+0.4］内的最小水深大于等于卸货后的安全水深，也即

Y2≥y0或2.5sin5π31（x0+0.4）+5≥5.5－0.3（x0－2）.

在同一直角坐标系内刻画上述关系，如图3.

借助计算工具可得x0≤6.479.故保守估计，该船最好在6.4时之前停止卸货，驶向较深的水域.

从以上分析可看出，货船安全水深y与时间x的关系应该是以停止卸货时刻为分界点的分段函数，但教材中给出的解答是基于货船驶到深水域之前的安全水深始终以y=5.5－0.3（x－2）的规律减少，没有考虑到货船停止卸货后吃水深度就不再减少的事实.

3 关于新教材题目设计的理解与改进

在旧人教版相应位置中，该题第（3）问为：

（3）若某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减少，那么该船在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域[1]？

旧人教版中的设问不考虑货船驶往深水区的具体时间差，认为船一旦驶离码头就是安全的.对这种假设并不提出异议，因为建立数学模型解决实际问题，所建的模型总是近似的.旧人教版教材中并配有如下思考题：

“如图1，设P（x0，y0），有人认为，由于P是两个图象的交点，说明在x0时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向深水域就可以了，你认为对吗？”[1]

旧人教版配套教师用书中对上述思考题作出的阐释是：“考虑到安全因素，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.”[2]这里结合实际，考虑到从停止卸货到货船离开有一定的时间差.所以在旧人教版教材中，只要考虑到存在这样的时间差、知道要取点P横坐标的不足近似即可.编者在新教材中增加“这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域”这一条件，可能是意图将旧教材中思考题考虑的因素补充到题干中，但一旦明确指出这个时间差是0.4 h，就产生了新的要求，正如本文所描述的“安全水深y与时间x的关系应该是以停止卸货时间为分界点的分段函数”，但难以从图象中直观地确定分界点的值，只能通过代数式计算并且借助计算工具求解.

若将新增的条件改为“这条船停止卸货前需0.4 h启动发动机才可以离港”，问“该船最好在什么时间启动发动机”，那么情境就变成了：先发动船只准备离开，发动过程中可继续卸货，停止卸货并驶离码头确保安全.此时在离港之前货船始终在卸货，安全水深y始终以函数y=5.5－0.3（x－2）减少，这样新教材中对此问的原有解答才是合适的.

另外，新教材补充题目条件之后仍配有上述一模一样的思考题，但题干中新增的条件已经传达了停止卸货到离开港口之间存在时间差，那么思考题就略显冗余.若保持新教材中题干不变，想要提醒学生注意临界点的不足近似，笔者认为可以将思考题改为“能否让停止卸货时的水深刚好等于进入深水域之前的最小水深？”新教材配套的教师教学用书中也没有针对该题的改动作出实质性的调整[3]，新人教版高中数学教材对该应用问题的改编值得商榷.

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学4必修（A版）[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

［2］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学4必修（A版）教师教学用书[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

［3］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第一册（A版）教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2019.