透视高考真题 关注数学阅读

摘要：结合近几年全国卷高考真题，在反套路、反刷题上下功夫，注重创新类试题创设真实情境，同时新教材增加了许多数学阅读内容，对数学阅读提出了很高的要求，因此在教学中要引导学生关注数学阅读，提升学生阅读能力.

关键词：高考真题；关注；数学阅读；能力考查

1 数学阅读及数学阅读能力

1.1 数学阅读的定义

“数学阅读”不同于一般的阅读，数学阅读是从数学阅读文本中获取有用信息进行内化、理解、推理与反省的心理过程，对字符（文字、符号与图形的总称）进行正确编码和转译.数学作为一门科学，需要用简洁、精准的语言来阐述其学科原理，而学生在数学阅读的过程中也需要借助数学语言对材料进行分析、概括与综合，这应当建立在一般阅读能力的基础上.然而，由于数学学科的抽象性与逻辑性等特点，数学阅读必须确保一定的阅读效果和速度，要能通过获取关键信息、思想方法形成解决问题的有效策略，体现学生的逻辑思维能力以及归类整合意识，因此数学阅读相较于一般阅读又有其独特的一面［1］.

1.2 数学阅读能力的定义

随着高考评价体系的实施，高考命题已经从能力立意转变为价值引领，素养导向，能力为重，知识为基，因此关键能力是高考重要的考查目标[2].高考数学学科对关键能力的考查贯穿解决问题的全过程，在接触问题之初，阅读理解能力起关键作用.

数学阅读能力是指阅读了数学材料后，在获取有意义信息时体现出来的心理特质，这其中既有一般阅读过程的能力，也有数学阅读学科特殊性所具有的能力.其特殊能力在于对符号语言的理解，这是数学解题的关键；其特殊还在于对图形语言的理解，图形语言展示图形中各元素之间的相对位置关系和数量关系.考生需要读图、识图，并把它们的关系用数学表达式表示出来，实现数学建模从而解决问题.

2 透视真题，考查阅读理解能力

2023年全国高考中的材料阅读题，全方位地考查了数学阅读能力.有些试题创设自然真实情境，取材于学生生活中的实际问题，助力阅读能力的考查，有现实意义，如全国甲卷理第6题和第9题；有些试题设置科学研究情境，不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献，如新课标Ⅰ卷第10题、全国甲卷文（理）第19题、新课标Ⅱ卷第19题；还有些试题设计劳动生产情境，考查学生对新概念、新知识的理解和探究能力，如新课标Ⅱ卷第12题、全国乙卷文（理）第17题、全国甲卷文（理）第19题.

下面以一道高考真题为例来透视高考对数学阅读及数学阅读能力的要求.

（2023新课标Ⅱ卷·19）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图1、图2所示的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1）当漏诊率p（c）=0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；

（2）设函数f（c）=p（c）+q（c），当c∈［95，105］时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间［95，105］的最小值.

本题以患病者和未患病者的某项医学指标为基础，题干中给出了“漏诊率”和“误诊率”的相关概念.本题对文字语言、符号语言和图形语言的理解能力都进行了深入考查，试题情境既有现实意义，又体现了数学学科的应用价值.在反套路、反刷题上下足了功夫，考查数学建模和数学应用等方面的能力，引导平时教学，实现教考衔接；同时也体现了新课程改革对教师的要求，即教师须更新教学观念，从“指挥者”转为“引导者”，由重“知识”向重“能力”转变，关键能力中的阅读能力更是首当其冲.

此题得分率不高，主要是学生没能很好地理解题意.其中，对“漏诊率”和“误诊率”这两个概念学生就没弄明白，无法抓住关键，没有理解文字概念背后的数学意义和数学相关知识.其实，“漏诊率”是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c），题中给出了明确的定义，为什么学生此处没有理解呢？考生在这里忽视了图形语言的价值，没能通过“患病者”和“未患病者”两个频率分布直方图的差异未理解元素之间的相对位置关系和数量关系，更不会通过“无图”画图来解决问题.仔细观察患病者和未患病者的两个频率分布直方图中横坐标分组数据，可以发现相关信息，如图3：

漏诊或误诊的原因是患病者与未患病者的某项医学指标都包括了［95，100］和（100，105］两组数据，这两组数据所对应的人群可能是阴性也有可能是阳性，这就要看检测标准临界值c是多少了.一旦c确定，“漏诊率”是在“患病者”的频率分布直方图中找出小于c的比例（频率视为概率），“误诊率”是在“未患病者”的频率分布直方图找出大于c的比例（频率视为概率）.

第一小问提出当p（c）=0.5%时，求临界值c，学生无法理解数学符号的意义，不知道在哪确定c的值，此时应回到“患病者”频率分布直方图中.

如图1，第一组［95，100］所对应的的频率为（100－95）×0.002=1%>0.5%，由此可以断定临界值c在［95，100］之间，列出等式（c－95）×0.002=0.5%，从而求得c=97.5.再根据“误诊率”的概念回到“未患病者”的频率分布直方图中，如图2，由临界值c=97.5，可知未患病者中［97.5，100］和（100，105］这两组对应的频率和就是误诊率了，于是列出等式q（c）=（100-97.5）×0.01+0.002×5=3.5%.

第二小问当c∈［95，105］时，有了第一小问的答题经验和分段函数的知识，可以得知［95，100］和（100，105］两段的临界值不同，应根据p（c），q（c）的定义将c分为c∈［95，100］和c∈（100，105］进行讨论.当c∈［95，100］时，与第一小问情况一样，得到p（c）=（c－95）×0.002，q（c）=（100-c）×0.01+0.002×5；当c∈（100，105］时，由图可知，患病者中［95，100］和（100，c］这两段都被漏诊，未患病者中只有（c，105］这段被误诊.

于是当c∈（100，105］时，漏诊率和误诊率关系式为

p（c）=0.002×5+（c－100）×0.012，

q（c）=（105-c）×0.002.

整理，得到分段函数

f（c）=－0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c－0.98，100<c≤105，

最终得到f（c）的图象，通过图象求出最小值为0.02.

该真题深入考查了对文字语言的阅读理解能力，要求考生从日常生活语言和图形语言中抽象出数量关系，转换成符号语言.可以看出，文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言信息的相互翻译，恰恰是学生数学学习的“短板”，在很大程度上影响了学生的正常阅读活动.这类问题需要学生有一定的学科理论储备、抽象概括能力与阅读基本功，多种能力聚合才能在三种语言间流畅切换.

3 真题启示，关注数学阅读能力

数学阅读理解能力不单单是文字阅读理解能力，还需要有数学的知识、背景作为基础和依托，理解其中的数学含义.数学阅读处理分三个方面进行突破：首先理解用文字描述的数学定义、定理，理解其中的数学含义；其次理解、掌握数学阅读中的抽象的数学语言，进行提炼，认识和发现数学规律；最后需要对图形语言进行抽象、总结，不管是有图还是无图，都需要对图形的信息进行加工、整理，进一步抽象出其中包含的解题的关键信息，建立数学模型.

3.1 重视数学语言教学，扫清阅读障碍

数学语言形式是多样的，有文字语言、符号语言、图形语言三种常见形式，对题目阅读汇总需要将三种语言进行相互转化，还原知识应用的实际过程，回归人类认知的本源，这对学生的阅读能力有很高的要求.高考中数学阅读题经过精心打磨和反复推敲，惜字如金，环环相扣，阅读信息量大，题目比较长，这对考生阅读能力提出了超高的要求，另将生活中问题数学化，需要设置诸多限制性条件，同时为了科学性和严谨性，会引入许多新概念.

教师在平时的教学中，没有很好地回归教材和数学本质，而人教A版教材高度重视“数学阅读”，实现从“教材”向“学材”的转变.在立体几何的教学中，我们有很多机会培养学生三种语言相互转化的能力.如开展直线与平面平行的判定定理的教学时，教师引导学生阅读教材第136页的“观察”中的两幅图，先直观感受，再动手操作教室中的门和桌面上的书，引导学生动手画出直线与平面平行的直观图，再利用动画定性分析，探究出线面平行的文字语言描述，最后抽象出简洁的数学符号语言.如图4.

引导学生把图形语言转化成文字及符号语言，如此经常训练，学生对三种语言不再陌生，并能熟练转化.久而久之，阅读能力、转化能力、解决问题的能力都会潜移默化得到提升.

3.2 深挖教科书内涵，提升阅读价值

教师在教学过程中不应忽视数学教材的作用，而应深入研究教材，通过让学生阅读数学教材达到学习的目的，而不是盲目地煽动学生购置其他数学资料而忽略数学教材.高中数学教材中适当安排了“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等栏目以及章头图和章引言等阅读材料，其中人教A版教材有关“阅读与思考”的内容共27篇，这些阅读材料都是精心设计的，并紧紧围绕着相应的教材知识而展开.教师应该根据数学阅读材料设计不同的要求，对其做不同的处理，充分发挥它们的价值.

如开展“直线与圆的方程”这一章内容的学习时，教师首先让学生自主阅读人教A版选择性必修第一册第二章第50页的章引言和章头图部分.章引言部分阐释了解析几何的基本内涵和研究方法、解析几何在数学发展史上的地位，以及本章要学的主要内容；而章头图上描绘的是黄河大桥上的落日，“黄河大桥”代表“直线”，“落日”代表“圆”，明确了本章的研究对象是直线和圆.引导学生阅读他们平常不太注意的部分，让学生体会到教材的价值，从而能够实现对数学教材的自主阅读学习.

3.3 创新教学新情境，提升阅读能力

面对新高考的新定义压轴题，平时教学中要通过创新情境，引导学生发现、提出问题，分析、解决问题，使学生经历观察、探究、分析、归纳、反思、整合的过程，培养学生现场学习能力，延伸探究能力.

（2024年全国新课标Ⅰ卷第19题节选）设m为正整数，数列a1，a2，……，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i<j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，……，a4m+2是（i，j）－可分数列．

写出所有的（i，j），1SymbolcB@i<jSymbolcB@6，使数列a1，a2，……，a6是（i，j）－可分数列.

针对上述问题，平时教学中如果能够做到“回归课标、重视教材”，根据以上阅读情境，列出阅读提纲，学生还是可以轻松答题的.

问题1题干中涉及哪些基本概念？（等差数列）

问题2等差数列{an}与自然数列{n}有什么样的对应关系？（一一对应）

问题3当m=1时，a1，a2，……，a6是（i，j）－可分数列，可以分几组？有几种删除方法？（结果见表1）

平时教学中要利用教材创设阅读新情境，通过教学引导学生把文字语言、符号语言转换成清晰的图形语言，通过到阅读提纲帮助学生一步步从具体问题抽象归纳出一般性的结论，使学生在面对新颖情境、陌生问题时能独立找到解决方法.让学生摆脱题海战术，逐步学会运用科学的思维方式解决压轴难题，成为真正的拔尖创新人才.

章建跃博士认为，教材是使学生学会做人做事的基本载体，脱离教材的教学不是好的数学教学.就有限的阅读素材及渠道来说，教师在平时的教学中要高度关注数学阅读，充分挖掘教材阅读资源，使数学阅读的价值得到体现，减少无效刷题，实现教考衔接.

参考文献：

［1］杨红萍.国内外数学阅读研究概览[J].数学教育学报，2013，22（5）：14-17.

［2］任子朝，赵轩，郭学恒.基于高考评价体系的关键能力考査[J].数学通报，2020，59（8）：15-20，24.