依托条件等式的设置，探求部分代数式最值

在探求代数式的最值（或取值范围）问题时，经常会碰到一类依托题设条件中等式，进而确定题设条件中等式的“部分代数式”的最值（或取值范围）问题，成为问题创新设置与应用中比较特殊的一种场景，是一类创新新颖的综合应用问题.此类问题，往往基于一次线性代数式、二次代数式以及多选题场景中的代数式等几类常见的最值（或取值范围）的确定来设置，结合实例加以剖析与应用，抛砖引玉.

1 一次线性代数式的最值（或取值范围）

借助题设条件中等式的设置，确定“部分代数式”为一次线性代数式的最值（或取值范围），是此类代数式最值应用中最为常见的一种基本类型，也是基本不等式等巧妙放缩与应用的一个重要场景.

例1若a>0，b>0，2ab+a+2b=3，则a+2b的最小值是（）.

A.22

B.1

C.2

D.322

解法1：整体思维法.

依题，由于a>0，b>0，2ab+a+2b=3，

利用基本不等式，可得3=2ab+a+2b≤a+2b22+（a+2b），当且仅当a=2b时等号成立.

因此（a+2b）2+4（a+2b）－12≥0，因式分解可得（a+2b+6）（a+2b－2）≥0，解得a+2b≥2.

所以当a=1，b=12时，a+2b取得最小值2.

解法2：消元法.

因为a>0，b>0，2ab+a+2b=3，

所以a=3－2b2b+10<b<32.

利用基本不等式，可得a+2b=－1+42b+1+2b=42b+1+（2b+1）－2≥24－2=2，当且仅当42b+1=2b+1，即b=12，a=1时等号成立.

所以a+2b的最小值为2.

解法3：因式分解法.

由a>0，b>0，2ab+a+2b=3，

得（2b+1）＼5（a+1）=4.

利用基本不等式，可得a+2b=（2b+1）+（a+1）－2≥2（2b+1）（a+1）－2=2，当且仅当2b+1=a+1，即b=12，a=1时等号成立.

所以a+2b的最小值为2.

解法4：换元法.

设a+2b=t，结合2ab+a+2b=3可得a·2b=3－t.

所以a与2b是方程x2－tx+3－t=0的两个正实数根.

所以t>0，3－t>0，Δ=（－t）2－4（3－t）≥0，

解得2≤t<3，当t=2时，a=2b=1，即a=1，b=12.

所以a+2b取得最小值2.

2OJcSsZ3rYB/j9CAtUIaJEpkAdXUVQ8m/zfNj9x7c9g=点评：在处理条件等式中“部分代数式”的最值（或取值范围）问题时，特别对于一次线性代数式的最值（或取值范围）问题，解题的关键是首先应用基本不等式（或变形）把“等式”转化为“不等式”，问题“求什么”就在不等式中“留什么”，仍要注意“一正、二定、三相等”三个条件，其次把所求“部分代数式”视为一个整体，最终利用一元二次不等式解决问题.

2 二次代数式的最值（或取值范围）

借助题设条件中等式的设置，确定“部分代数式”为二次代数式的最值（或取值范围），对问题的分析与挖掘要更加深入，可以通过基本不等式等进行巧妙放缩，也可以利用函数与方程、三角函数、函数与导数的应用等思维来综合应用.

例2已知ab>0，a2+ab+2b2=1，则a2+2b2的最小值为（）.

A.8－227

B.223

C.34

D.7－228

解法1：基本不等式法.

依题ab>0，a2+ab+2b2=1，结合基本不等式，可得1=a2+ab+2b2=a2+2b2+12a×2b≤a2+2b2+12×a2+2b22=22+122（a2+2b2），则有a2+2b2≥2222+1=8－227，当且仅当a=2b，即b2=4－214，a2=4－27时，a2+2b2的最小值为8－227.

解法2：判别式法.

设a2+2b2=t，结合ab>0，a2+ab+2b2=1，可知0<t<1.

将a2+2b2=t代入a2+ab+2b2=1中，整理可得a=1－tb，代入a2+2b2=t中有1－tb2+2b2=t，整理有2b4－tb2+（1－t）2=0.由于以上关于b2的方程有实数解，则有判别式Δ=t2－8（1－t）2≥0，即t≥22（1－t），解得t≥8－227.

当t=8－227时，b2=t4，即b2=4－214，a2=4－27时，a2+2b2的最小值为8－227.

解法3：三角换元法.

设a2+2b2=t，结合ab>0，a2+ab+2b2=1，可知0<t<1.

三角换元可设a=tcos θ，2b=tsin θ，结合ab>0，二者同号，不失一般性取两者均为正数.设θ∈0，π2，代入a2+ab+2b2=1中，整理可得t+22tsin θcos θ=1，则可得t=11+22sin θcos θ=2222+sin 2θ≥2222+1=8－227，当且仅当sin 2θ=1，即2θ=π2，亦即θ=π4时，等号成立.此时a=2b，即b2=4－214，a2=4－27时，a2+2b2的最小值为8－227.

解法4：齐次化法.

依题ab>0，a2+ab+2b2=1，齐次化可得a2+2b2=a2+2b2a2+ab+2b2=1+2（ba）21+ba+2ba2.设t=ba>0，则a2+2b2=1+2t21+t+2t2.

构建函数f（t）=1+2t21+t+2t2，t>0，求导有f′（t）=2t2－1（1+t+2t2）2.由f′（t）=0解得t=22（负值舍去）.于是当t∈0，22时，f′（t）<0，函数f（t）单调递减；当t∈22，+∞时，f′（t）>0，函数f（t）单调递增.所以f（t）min=f22=8－227，

当且仅当t=22，可得a=2b，即b2=4－214，a2=4－27时，a2+2b2的最小值为8－227.

点评：在处理条件等式中“部分代数式”的最值（或取值范围）问题时，特别对于二次代数式的最值（或取值范围）问题，在基本不等式等巧妙放缩应用的基础上，还可以借助方程思维、三角函数思维以及函数与导数思维等，利用相应的技巧与方法来确定二次代数式的最值（或取值范围）.

3 多选题场景中的代数式最值（或取值范围）

借助题设条件中等式的设置，确定“部分代数式”为多项选择题应用场景下对应的选项（或部分选项），巧妙加以渗透与融合，用来处理“部分代数式”以及其他对应代数式的最值（或取值范围）问题.

例3（多选题）已知a>0，b>0，若4a+b+ab=12，则（）.（D）

A.b<3

B.4a+b<8

C.log2a+log2b≤2

D.16a+2b≥32

例4（多选题）已知x>0，y>0，且x+y+xy－3=0，则下列结论正确的是（）.（BC）

A.xy的取值范围是（0，9）

B.x+y的取值范围是［2，3）

C.x+2y的最小值是42－3

D.x+4y的最小值是3

点评：在处理条件等式中“部分代数式”的最值（或取值范围）问题时，特别对于多选题场景下“部分代数式”以及其他对应代数式的最值（或取值范围），要综合不等式思维与其他数学思维，合理借助分类讨论法，对各选项中的代数式的最值（或取值范围）进行逐一分析与判断，进而加以综合与应用.

基于题设条件中等式的“部分代数式”的最值（或取值范围）问题，只是代数式的最值（或取值范围）问题中的一个特例，抓住题设条件与所求结论之间的“相同”联系，切入思维更加自然，技巧方法更加多变.结合不同类型的“部分代数式”的最值（或取值范围）的应用，熟练理解并掌握基本的技巧方法与应对策略，全面落实数学“四基”，有效提升数学“四能”，养成良好的数学思维习惯，培养数学核心素养.