巧构特殊三角模型，妙解抽象函数问题

摘要：合理构建特殊函数模型是解决抽象函数综合应用问题的一种比较常用的技巧与策略.结合实例，合理利用问题的应用场景，从问题实质、公式特征、函数特征等方面巧妙构建三角函数特殊模型来解决抽象函数问题，归纳总结解题技巧与策略，指导数学教学与复习备考.

关键词：三角函数；抽象函数；特殊化；模型；应用

抽象函数及其综合应用问题，是近年高考数学试卷以及各级各类模拟考试中频频亮相的一类热点与难点问题.巧妙构造满足抽象函数结构特征的具体函数，是解决此类抽象函数问题的一种“巧技妙法”.特别地，三角函数模型具有独特的奇偶性、周期性等特征，经常是构建特殊模型解决抽象函数问题的一个重要场所.

1 抓住问题实质特殊化构造三角函数模型

例1〔2023—2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试题〕（多选题）已知函数f（x）满足：Symbolb@@x1，x2∈R，都有|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立，则下列结论正确的是（）.

A.f（0）=0

B.f（x）是偶函数

C.f（x）是周期函数

D.g（x）=f（x）－sin x，若－1<x1<x2<1，则g（x1）≥g（x2）

解法1：严谨推理法.

依题可知，对Symbolb@@x1，x2∈R，都有|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立，令x1=x2=0，可得|f（0）|≤0，则f（0）=0，故选项A正确.

令x1=－x2=x，可得|f（x）+f（－x）|≤|sin x+sin（－x）|=0，则f（x）+f（－x）=0，即f（－x）=－f（－x），则知f（x）是奇函数，故选项B错误.

令x1=－x，x2=x+2π，代入已知不等式可得|f（－x）+f（x+2π）|≤|sin（－x）+sin（x+2π）|=0，则f（－x）+f（x+2π）=0，即f（x+2π）=－f（－x）=f（x），可知f（x）是周期为2π的周期函数，故选项C正确.

将x2替换成－x2，可得|f（x1）+f（－x2）|≤|sin x1+sin（－x2）|，于是可得|f（x1）－f（x2）|≤|sin x1－sin x2|，而y=sin x在区间－π2，π2上单调递增，若－1<x1<x2<1，则有sin x1<sin x2，则|f（x1）－f（x2）|≤sin x2－sin x1，可得sin x1－sin x2≤f（x1）－f（x2）≤sin x2－sin x1.

而由sin x1－sin x2≤f（x1）－f（x2），可得f（x2）－sin x2≤f（x1）－sin x1，又g（x）=f（x）－sin x，则有g（x2）≤g（x1），故选项D正确.

综上分析，正确选项为ACD.故选：ACD.

解法2：特殊三角函数法.

由抽象函数满足不等式|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立的应用场景，回归问题的本质，直接选取特殊函数f（x）=sin x，满足Symbolb@@x1，x2∈R，都有|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立.

易知正确的选项为ACD.故选：ACD.

点评：依托题设条件中问题的实质，从特殊函数入手直接构建相应的三角函数模型，关键是基于绝对值不等式中等号成立时的特殊场景，这也是有效观察之后的特殊产物.相比于严谨推理法，特殊三角函数法更加简捷快速，真正达到“小题小做”的目的，节约时间，简化推理，减少运算，优化过程.

2 抓住公式特征特殊化构造三角函数模型

例2设定义在R上的函数f（x）满足f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），且f（1）=1，f（2）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2 024）=.

解法1：赋值归纳法.

依题f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），且f（1）=1，f（2）=0，令x=2，y=1，则f（3）f（1）=f2（2）－f2（1），解得f（3）=－1；令x=3，y=2，则f（5）f（1）=f2（3）－f2（2），解得f（5）=1.令y=2，则f（x+2）f（x－2）=f2（x）－f2（2）=f2（x），所以f（7）=－1，f（9）=1，……，归纳可知f（2k+1）=（－1）k，k∈Z.

令x=3，y=1，则f（4）f（2）=f2（3）－f2（1）=0；令x=4，y=2，则f（6）f（2）=f2（4）－f2（2）=f2（4）；令x=5，y=1，则f（6）f（4）=f2（5）－f2（1）=0.假设f（4）≠0，则知f（6）=0，此时结合f（2）=0，与f（6）f（2）=f2（4）≠0矛盾，所以只能是f（4）=0.进一步归纳可知，f（2k）=0，k∈Z.

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 024）=f（1）+f（3）+f（5）+……+f（2 023）=0.

故填答案：0.

解法2：特殊三角函数法.

依题中抽象函数满足的关系式f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），其恰好吻合正弦平方差公式sin 2A－sin 2B=sin（A+B）sin（A－B），结合已知条件f（1）=1，f（2）=0，构造函数f（x）=sinπx2使之满足条件.

由于函数f（x）=sinπx2是以4为周期的周期函数，也是一个奇函数，于是有f（0）=0，结合f（1）=1，f（2）=0，可得f（3）=f（－1）=－f（1）=－1，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2 024）=506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0.

故填答案：0.

点评：依托题设条件中问题的公式特征——正弦平方差公式，从特殊函数入手直接构建相应的三角函数模型，化抽象为具体，对于解决一些与之相关的抽象函数问题有奇效，也是数学抽象这一核心素养的一个重要体现.相对于赋值归纳法，特殊三角函数法更加优化与简捷，化抽象函数为特殊函数，也是数学思维提升与拓展一个创新应用.

3 抓住函数特征特殊化构造三角函数模型

例3〔2024年1月浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷·12〕（多选题）已知函数f（x）满足：对Symbolb@@x，y∈R，都有f（x－y）=f（x）f（y）+f（1+x）f（1+y），且f（0）≠f（2），则以下选项正确的是（）.

A.f（1）=0

B.f（0）=0

C.f（x）+f（2－x）=0

D.f（x+4）=f（x）

解法1：赋值归纳法.

令x=y=0，得f（0）=[f（0）]2+[f（1）]2.令x=y=1，得f（0）=[f（1）]2+[f（2）]2，所以[f（0）]2=[f（2）]2，因为f（0）≠f（2），所以f（0）=－f（2）.

令x=1，y=0，得f（1）=f（1）f（0）+f（2）f（1）=0.故选项A正确.

将f（1）=0代入得f（0）=[f（0）]2，所以可得f（0）=0或1.若f（0）=0，则f（0）=[f（1）]2+[f（2）]2=0，所以f（2）=0，与f（0）≠f（2）矛盾，舍去；所以f（0）=1，f（2）=－1.故选项B错误.

令x=0，得f（－y）=f（0）f（y）+f（1）f（1+y），因为f（1）=0，f（0）=1，所以f（－y）=f（y），则函数f（x）为偶函数.

令x=1，得f（1－y）=f（1）f（y）+f（2）f（1+y）=f（2）f（1+y）=－f（1+y），所以f（1－y）=－f（1+y），即f（x）+f（2－x）=0.故选项C正确.

由f（－x）=f（x）=－f（x+2），所以f（x+4）=f（x）.故选项D正确.

故选：ACD.

解法2：特殊三角函数法.

依题中抽象函数满足f（x－y）=f（x）f（y）+f（1+x）f（1+y），其恰好吻合两角差的余弦公式，合理加以变形，构造特殊函数f（x）=cosπx2，则可得f（1+x）=cosπ（1+x）2=cosπ2+πx2=－sinπx2，所以f（x－y）=cosπ（x－y）2=cosπx2cosπy2+sinπx2sinπy2=f（x）f（y）+f（1+x）f（1+y），且f（0）≠f（2），所以函数f（x）=cosπx2符合题意.

由于f（1）=cosπ2=0，则选项A正确；由于f（0）=1，则选项B错误；由于f（x）+f（2－x）=cosπx2+cosπ（2－x）2=0，则选项C正确；由于函数f（x）=cosπx2的最小正周期为T=2ππ2=4，因此可得f（x+4）=f（x），故选项D正确.

故选：ACD.

点评：依托题设条件中问题的函数特征，从特殊函数入手直接构建相应的三角函数模型，处理更加方便快捷.相比于赋值归纳法，特殊三角函数法更加有效，更加具体化，由具体函数直接验证选项，可以“一招破敌”.特别在考试中可以大胆尝试，当然最好能严格证明一下，确保“严谨性”.

基于抽象函数综合问题的特殊模型化处理，三角函数模型是其中最为常见的一类基本构建函数模型.其是以正弦型函数与余弦型函数这两个基本模型为主，借助函数的奇偶性选取相应的三角函数类型，利用周期关系等配凑相应的系数等.特别要注意的是，一些具有一定结构特征的三角函数公式，综合三角恒等变换公式的类型加以对比与分析，为特殊三角函数模型的构建提供条件.同时特殊化思维，也是处理数学问题的一种基本技巧与策略，对考生的数学运算求解、逻辑推理论证、数学模型构建等综合能力的要求比较高.