2024年高考数学新高考Ⅰ卷第13题的探究

涉及曲线的切线问题，是导数的几何意义与平面解析几何等相关知识的融合，契合高考命题“在知识交汇点处命题”的理念，是高考中比较常见的一类重点与热点问题.特别是涉及两条及以上曲线（主查两条曲线）的公切线问题，新颖度高，创新性强，背景简单易懂，形式复杂多变，求解形式多样，能够有效考查学生的“四基”以及突出学生的“四能”等，凸显试题的选拔性与区分度，倍受各方关注.

1 真题呈现

高考真题若曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a=.

此题以两条不同的曲线为问题场景，其中一条曲线对应确定的函数，另一条曲线对应含参的函数，借助过确定函数上切点的切线为公切线设问，合理创设应用情境与条件，进而确定对应的参数值.

此类涉及公切线的函数与导数的综合应用问题，可以利用常规思维方式，直接从导数的运算、导数的几何意义以及切线方程等来切入与应用，实现问题的突破与求解；也可以从放缩法思维、特殊思维、极端思维等方式切入，以放缩法的变化、特殊值的确定或极端值的应用来分析，得以简捷求解与创新应用.

2 真题破解

2.1 直接思维

解法1：直接法1.

依题，由曲线y=ex+x，求导可得y′=ex+1，结合导数的几何意义可知该曲线在点（0，1）处的切线的斜率为k=e0+1=2，此时对应的切线方程为y=2x+1.

而由曲线y=ln（x+1）+a，求导可得y′=1x+1.设曲线y=ln（x+1）+a上的切点为B（x0，ln（x0+1）+a），结合导数的几何意义可知，该曲线在点B处的切线的斜率k=1x0+1，此时对应的切线方程为y－[ln（x0+1）+a]=1x0+1（x－x0），即y=1x0+1x－x0x0+1+ln（x0+1）+a.

结合题设条件，可得1x0+1=2，－x0x0+1+ln（x0+1）+a=1.

解得x0=－12，a=ln 2.

故填答案：ln 2.

解法2：直接法2.

依题，由曲线y=ex+x，求导可得y′=ex+1，结合导数的几何意义可知，该曲线在点（0，1）处的切线的斜率为k=e0+1=2.

而由曲线y=ln（x+1）+a，求导可得y′=1x+1，设曲线y=ln（x+1）+a上的切点为B（x0，ln（x0+1）+a），结合导数的几何意义可知，该曲线在点B处的切线的斜率为k=1x0+1=2，解得x0=－12，此时切点为－12，a－ln 2.

又利用直线的斜率公式有k=a－ln 2－1－12－0=2，解得a=ln 2.

解法3：直接法3.

依题，由曲线y=ex+x，求导可得y′=ex+1，结合导数的几何意义可知，该曲线在点（0，1）处的切线的斜率为k=e0+1=2，此时对应的切线方程为y=2x+1.

而由曲线y=ln（x+1）+a，求导可得y′=1x+1，设曲线y=ln（x+1）+a上的切点为B（x0，ln（x0+1）+a），结合导数的几何意义可知，该曲线在点B处的切线的斜率为k=1x0+1=2，解得x0=－12.

又由于2x0+1=ln（x0+1）+a，将x0=－12代入，整理可得a=ln 2.

故填答案：ln 2.

点评：在解决一些涉及定切线而不定切点的公切线问题时，往往要结合问题实际，合理设出对应的切点，结合导数的几何意义以及直线的方程等来直接分析与求解，实现问题的切入与应用.直接法也是解决此类多曲线的公切线综合应用问题比较常用的一种“通性通法”，吻合思维过程，数学运算量往往比较大.当然在实际解题过程中，直接法的不同视角，也为问题的具体解析创造了不同的方式与方法.

2.2 放缩思维

解法4：放缩法.

（1）若曲线y=ex+x和曲线y=ln（x+1）+a相切于同一点（0，1）处，此时有ln（0+1）+a=1，解得a=1.

而由曲线y=ex+x，求导可得y′=ex+1；由曲线y=ln（x+1）+a，求导可得y′=1x+1.

此时e0+1=2≠1=10+1，不符合题意，可知公切线与两条曲线相切于不同点.

（2）结合切线不等式有ex+x≥x+1+x=2x+1，当且仅当x=0时等号成立.

而由曲线y=ex+x，求导可得y′=ex+1，y″=ex>0，则知函数y=ex+x为凹函数.

又曲线y=ln（x+1）+a，求导可得y′=1x+1，y″=－1（x+1）2<0，则知函数y=ln（x+1）+a为凸函数.

数形结合可知，公切线在凹函数y=ex+x的下面部分，在凸函数y=ln（x+1）+a的上面部分.

而结合切线不等式有x≥ln（x+1），则有2x+1≥ln（2x+1+1）=ln（2x+2）=ln（x+1）+ln 2，当且仅当2x+1=0，即x=－12时等号成立，此时a=ln 2.

综上分析，可知a=ln 2.

点评：依托多曲线所对应的公切线的切点是否相同加以分类讨论，为问题的切入与展开创造条件.而对于涉及指数函数或对数函数的问题，抓住切线不等式进行合理的放缩处理，可以大致确定公切线的位置与变化情况，也给问题的创新应用创造了更多的机会与条件.利用放缩法处理，更加注重逻辑推理能力，相对来说数学运算量较少.

3 变式拓展

变式1若两个函数f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在过点2，12的公切线，设切点坐标分别为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），则（x1+2x2）＼5[f（x1）+2g（x2）]=.

解析：依题可得f′（x）=1x，设切点坐标为（x1，ln x1+a），则切线斜率为1x1，对应的切线方程为y－（ln x1+a）=1x1（x－x1），将点2，12代入上式，可得ln x1+a=32－2x1，即f（x1）=32－2x1.

又g′（x）=bex，设切点坐标为（x2，bex2），则切线斜率为bex2，对应的切线方程为y－bex2=bex2（x－x2），将点2，12代入上式，可以得到bex2=12（3－x2），即g（x2）=12（3－x2）.

又因为1x1=bex2=12（3－x2），可得x1=2（3－x2），即x1+2x2=6.

而f（x1）+2g（x2）=32－2x1+2bex2=32－2x1+2x1=32，所以（x1+2x2）＼5[f（x1）+2g（x2）]=6×32=9.

变式2若函数f（x）=aln x与g（x）=x2的图象存在公切线，则实数a的取值范围是.

解析：设与函数f（x）=aln x相切的切点为（m，aln m），m>0，由f′（x）=ax，可得切线的斜率为f′（m）=am，a≠0，则切线的方程为y－aln m=am＼5（x－m），即y=amx－a+aln m.

又切线y=amx－a+aln m与g（x）=x2也相切，则方程x2－amx+a－aln m=0有两个相等的实数根，所以可得Δ=a2m2－4（a－aln m）=0，分离参数有a=4m2（1－ln m），m>0.

设函数h（m）=4m2（1－ln m），m>0，则h′（m）=4[2m（1－ln m）－m]=4m（1－2ln m）.由h′（m）=0解得m=e.当0<m<e时，h′（m）>0，函数h（m）单调递增；当m>e时，h′（m）<0，函数h（m）单调递减.所以可得m=e时，h（m）取得极大值2e，且为最大值，故a≤2e.

4 教学启示

4.1 归纳技巧方法

涉及多条曲线（主要是两条曲线）的公切线问题，其核心就是相应的切点坐标，合理利用导数的几何意义——切点处的导数就是对应切线的斜率；而对于多条曲线的公切线问题，应根据对应函数的图象在切点处的斜率相等，同时满足切点既在切线上又在相应的曲线上，合理联立有关切点的横坐标的方程（组），通过解方程（组）或恒等变形等来分析与求解.

4.2 提升变式效应

在高中数学课堂教学与学习过程中，根据课堂教学与学习的需要，可以适时地将一些典型问题，特别是高考真题等进行深入变形与拓展，借助“一题多解”“一题多变”等形式，实现“一题多得”.久而久之，就能逐步培养学生灵活多变的数学思维、创新应用的探索精神与创新意识.