消元处理，整体代换，巧妙构建：双变量问题的破解技巧

摘要：涉及“双变量”或“双参”的综合应用问题是高考数学压轴题中一类基本应用类型，合理总结与归纳破解此类问题的技巧方法与解题思路是关键所在.结合实例，就破解此类问题的消元处理、整体代换、巧妙构建三种常用技巧方法加以剖析，助力师生的数学教学与学习以及解题研究.

关键词：双变量；消元；整体；同构；函数；不等式

近年的高考数学试题中经常涉及“双变量”或“双参”的相关问题，此类问题主要涉及函数与导数、不等式等模块知识，能力要求高，综合性强，难度较大，往往是一些压轴题的重要场景，倍受各方关注.

此类问题中，对于在某个取值范围内可以任意变动的“双变量”或“双参”，由于两个变量都在“变”，往往导致无法展开思路，造成无从下手，是师生在数学教学与学习过程中感到比较困惑的难点之一.

破解此类双变量问题的技巧方法比较常见的有消元处理、整体代换、巧妙构建等，这些都是解决此类问题中比较常用的思维方式与解题技巧.本文中结合实例，就破解此类双变量问题的技巧方法与解题思路加以剖析，旨在抛砖引玉.

1 变更主元，消元处理

根据题设条件中的“双变量”或“双参”，因地制宜，直接选取其中一个变量作为“主元”（另一个变量自动为辅元），结合消元处理转化为涉及该“主元”的关系式，变更一元思路，将另一个变量作为自变量加以合理转化，从而巧妙将双变量问题消元处理转化为单变量问题，再结合相关知识来分析与处理.

例1〔2023届江苏省盐城市第一中学高三上学期学情调研（二）数学试题·16〕已知函数f（x）=2ln（ax+b）（a，b∈R），若直线y=x与曲线y=f（x）相切，则ab的最大值为.

分析：根据题设条件，通过导数的几何意义来合理构建对应的关系式，利用关系式的结构特征进行消元处理，进而采用变更参数思维，以参数a为“主元”构建所求代数式的单变量表达式，结合代数式的结构特征，利用切线不等式加以合理放缩，进而确定对应代数式的最值.

解：设直线y=x与曲线y=f（x）相切于点P（x0，2ln（ax0+b））.

因为f′（x）=2aax+b，则结合导数的几何意义可知f′（x0）=2aax0+b=1，所以ax0+b=2a（a>0）.

又点P在切线y=x上，所以2ln（ax0+b）=x0.

所以x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a，则b=2a－ax0=2a－2aln 2a.

于是，有ab=2a2－2a2ln 2a（a>0）.

结合切线不等式“ln x≤xe，当且仅当x=e时等号成立”，可得

ab=2a2－2a2ln 2a=2a2（1－ln 2a）=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4，当且仅当e2a2=e，即a=e2时等号成立，

则ab的最大值为e4.

故填答案：e4.

点评：涉及“双变量”或“双参”的相关问题，利用相关的知识加以消元处理，在消元并转化为同一“主元”问题时，利用单变量表达式的恒等变形与对应的结构特征，或利用一些重要的不等式（基本不等式、柯西不等式、切线不等式等）进行必要的放缩变形，或利用函数的构建来应用，这些都是确定代数式最值问题中比较常用的技巧方法.

2 变量归一，整体代换

由已知题设条件入手，寻找题设中对应的“双变量”满足的关系式，借助“双变量”之间的和（或差）式、积（或商）式以及线性关系式等代数式进行整体思维与变量代换，从而引入第三个参数，把含“双变量”的问题转化为含单变量的问题，再结合函数与导数、不等式等及其相关知识来分析与处理.

例2〔2022年安徽省安庆市高三模拟考试（二模）〕若存在两个正实数x，y使得x（2+ln x）=xln y－ay恒成立，则a的取值范围为（）.

A.0，1e2

B.－∞，1e2

C.0，1e3

D.－∞，1e3

分析：根据题设条件，对恒成立的等式加以变形与等价转化，巧妙分离参数，进而确定所求参数中的双变量表达式;通过整体思维，结合比值进行巧妙换元处理，从而借助构建一个新函数，结合函数与导数的应用，通过函数的单调性、极值以及最值等的应用来确定对应的参数的取值范围问题.

解：依题意，原等式可变形为2+ln x=ln y－ayx

，即ln yx－2=ayx，亦即a=ln yx-2yx.

令yx=t（t>0），构建函数f（t）=ln t-2t，求导可得f′（t）=3-ln tt2.

令f′（t）=0，解得t=e3.

当t∈（0，e3）时，f′（t）>0，函数f（t）在区间（0，e3）上单调递增；当t∈（e3，+∞）时，f′（t）<0，函数f（t）在区间（e3，+∞）上单调递减.

所以f（t）max=f（e3）=1e3，且当t→0时，f（t）→－∞，所以a≤1e3.

故选择答案：D.

点评：解决涉及双变量的问题时，经常借助双变量之间的代数关系式（和、差、积、商等）来整体换元，从而为构建一个新函数及其相关的应用提供条件，把对应的多变量问题转化为常规的数学问题来处理.在整体代换前，经常要对问题进行等价转化，构建双变量所对应的关系式，通过分析双变量的结构特征，利用变量归一思想进行整体化思维[1].

3 变形同构，巧妙构建

借助题设条件中的关系式或不等式等加以等价变形，寻找对应等式或不等式两边的关系式的结构特征，寻觅同型，合理同构，巧妙构建对应的函数，吻合数学的一致性原则，进而借用导数及其应用，判断新函数的单调性，从而求其极值或最值，结合题目加以合理分析与处理.

例3（2022年江西省新八校高考数学第二次联考试卷节选）已知函数f（x）=ln x+x2－3x，对于任意x1，x2∈[1，10]，当x1<x2时，不等式f（x1）－f（x2）>m（x1-x2）x1x2恒成立，求实数m的取值范围.

分析：根据题设中恒成立的不等式进行同参数组合的等价变形，借助同构函数，结合函数单调性来逆向确定导函数的正负取值问题，合理分离参数，进一步构建函数，借助函数与导数的应用，利用函数的单调性等来确定相应的最值，得以求解参数的取值范围.

解：依题意，将不等式f（x1）－f（x2）>m（x1-x2）x1x2等价转化为f（x1）－f（x2）>mx2－mx1.继续变形，可得f（x1）+mx1>f（x2）+mx2.①

根据以上变形不等式，同构函数g（x）=f（x）+mx=ln x+x2－3x+mx，x∈[1，10].

那么不等式①可化为g（x1）>g（x2），

则知对于任意x1，x2∈[1，10]，当x1<x2时，不等式g（x1）>g（x2）恒成立.

所以函数g（x）=ln x+x2－3x+mx在区间[1，10]上单调递减.

由于g（x）的导函数g′（x）=1x+2x－3－mx2=2x3-3x2+x-mx2，则知2x3－3x2+x－m≤0在[1，10]上恒成立.

所以m≥2x3－3x2+x在[1，10]上恒成立.

令函数h（x）=2x3－3x2+x，x∈[1，10]，

求导可得h′（x）=6x2－6x+1=6x－122－12≥1>0.

所以函数h（x）在区间[1，10]上单调递增.

所以h（x）max=h（10）=1 710，即m≥1 710.

故实数m的取值范围为[1 710，+∞）.

点评：破解含“双变量”或“双参”的不等式的恒成立或证明问题，经常要对相应的不等式加以合理的变形与转化，为进一步同构函数提供条件，由同构转化为含单参的不等式，为巧妙构建对应的函数来回归函数问题指明方向，从而把所求的极值或最值应用到双参不等式中去，得到要解决的结论[2].

涉及“双变量”或“双参”的综合问题，是近年高考数学试卷中的热门与难点问题之一，形式多样，变化多端，同时交汇融合的知识点比较多，对数学思维与思想方法的要求比较高，具有较好的选拔性与区分度.借此综合问题，可以很好地发展学生思维的发散性与开拓性，养成良好的解题习惯，培养学生的核心素养.

参考文献：

[1]韩文美.突出四个“基本点”，强化导数及应用[J].中学生数理化（高二数学），2023（6）：22-24，26.

[2]范应彬.同构思想指导下对一道数列题目的思考[J].中学数学，2024（15）：70-71.