一道不易分离变量的二元变量最值问题解法探究

存在约束关系的二元变量最值的题，是一种常见的题型，一般情况下都可以用公式法、消元法、导数法等求其最值.但是对有约束条件但不易分离变量的二元变量最值问题上述几种方法都不适用，需要我们另辟蹊径，本文中以一道这样的题目为例，赏析它的几种不同的解法，体会这种题型存在的解题规律.

例（江苏省“百校大联考”高三年级第一次考试）已知正实数x，y满足xy（x－y）=4，则x+y的最小值为.

思路一：采用换元法.

换元法是一种常用方法，利用换元法可以实现化难为易的目的.本题可以根据题设条件及目标式的结构特点，采用以下几种不同的换元方法.

方法一：整体换元.

解法1：因为x，y为正实数，xy（x－y）=4>0，所以x－y>0.设x－y=a（a＞0），x+y=b（b＞0），则x=a+b2，y=b－a2，所以a+b2·b－a2·a=4，

即a（b2－a2）=16，所以b2=16a+a2.

设f（a）=16a+a2（a>0），则f′（a）=－16a2+2a

=2（a－2）（a2+2a+4）a2.令f′（a）=0，则a=2.

当a∈（0，2）时，f′（a）<0，函数f（a）在（0，2）上单调递减；当a∈（2，+∞）时，f′（a）>0，函数f（a）在区间（2，+∞）上单调递增.

所以f（a）min=f（2）=12，即（b2）min=12.

又b＞0，所以bmin=23.

故x+y的最小值为23.

点评：已知条件xy（x－y）=4中变量x，y不易分离，注意到x－y与x+y都是二元一次多项式，因此对其进行整体换元，引进新变量，用新变量表示变量x，y，将已知条件转化为新变量后可以实现变量的分离，从而将求x+y的最小值问题转化为求函数的最小值问题.

方法二：均值换元.

解法2：设x=a+t，y=a－t，则x－y=2t，x+y=2a.因为xy（x－y）=4，所以（a+t）·（a－t）·2t=4，即t（a2－t2）=2.又由题意得a>t>0，所以a2=2t+t2

=1t+1t+t2≥331t·1t·t2=3，当且仅当1t=t2，即t=1时，取等号，所以a的最小值为3.故x+y的最小值为23.

点评：对于题中出现项x+y，x－y，xy时可以考虑对变量x，y进行均值换元，引进新变量a，t，其中a为变量x，y的均值，将已知条件转化为用新变量表示后，可以实现变量a，t的分离，从而将求x+y的最小值问题转化为求函数的最小值问题.

方法三：比值换元.

解法3：由题意知x>y>0，设yx=k，则y=kx（0<k<1）.因为xy（x－y）=4，则有x·kx·（x－kx）=4，即k（1－k）x3=4，所以x3=4k（1－k），因此（x+y）3=（x+kx）3

=（1+k）3x3=4（1+k）3k（1－k）.

设f（k）=4（1+k）3k（1－k）（0<k<1），则

f′（k）=－4（k+1）2（k2－4k+1）k2（1－k）2.

令f′（k）=0，得k=2－3.

当k∈（0，2－3）时，f′（k）<0，函数f（k）在区间（0，2－3）上单调递减；当k∈（2－3，1）时，f′（k）>0，函数f（k）在区间（2－3，1）上单调递增.

所以f（k）min=f（2－3）=243=（23）3.

故x+y的最小值为23.

点评：比值换元这种方法比较常用，利用比值代换，引进新变量，将已知条件与待求结论转化为用新变量表示后，实现了二元变量同一元变量的转化，从而将求x+y的最小值问题转化为求函数的最小值问题.

方法四：三角换元.

解法4：由题意可知x－y>0，又（x－y）2+（2xy）2=（x+y）2，以线段x－y，2xy，x+y为边长，能够构成一个直角三角形，所以可以假设x－y=（x+y）sin θ，2xy=（x+y）cos θ，其中θ∈0，π2.

由xy（x－y）=4，得

（x+y）cos θ22·（x+y）sin θ=4.

所以（x+y）3=16sin θcos 2θ.设f（θ）=sin θcos 2θ0<θ<π2，即f（θ）=sin θ（1－sin 2θ），则有f′（θ）=cos θ（1－3sin 2θ）.令f′（θ）=0，得sin θ=33.

设sin θ0=330<θ0<π2，则当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）>0，函数f（θ）在区间（0，θ0）上单调递增；当θ∈θ0，π2时，f′（θ）<0，函数f（θ）在区间θ0，π2上单调递减.所以f（θ）max=f（θ0）=sin θ0（1－sin 2θ0）=239，则（x+y）3min=16239=243.

故x+y的最小值为23.

点评：变量x－y，xy，x+y满足（x－y）2+（2xy）2=（x+y）2，因此可以利用三角代换引进新变量，将二元变量转化为一元变量，从而将求x+y的最小值转化为求函数的最小值.

思路二：利用齐次化的方法.

齐次化也是求最值的一种常用方法，构造齐次分式，实现二元变量向一元变量的转化.

解法5：xy（x－y）（x+y）3=xyxy－1xy+13，设xy=t，则xy（x－y）（x+y）3=t（t－1）（t+1）3.由题意知x>y>0，所以t>1.设f（t）=t（t－1）（t+1）3（t>1），则f′（t）=－t2－4t+1（t+1）4，令f′（t）=0，得t=2+3.所以当t∈（1，2+3）时，f′（t）>0，函数f（t）在区间（1，2+3）上单调递增；当t∈（2+3，+∞）时，f′（t）<0，函数f（t）在区间（2+3，+∞）上单调递减.所以f（t）max=f（2+3）=318，即xy（x－y）（x+y）3max=318.又xy（x－y）=4，所以（x+y）3min=243.

故x+y的最小值为23.

点评：由于xy（x－y）为三次，x+y为一次，因此可以构造齐次分式xy（x－y）（x+y）3，然后通过分子、分母同除以x3或y3进行换元，将二元变量转化为一元变量，求出其最大值，进一步可求出x+y的最小值.

思路三：利用已知条件与未知结论之间的关系.

已知条件与未知结论之间往往存在关联，利用这种关系可以实现问题的转化.

解法6：由xy（x－y）=4，得x－y=4xy.

又x>0，y>0，所以

（x+y）2=（x－y）2+4xy=16x2y2+4xy=16x2y2+2xy+2xy≥3316x2y2·2xy·2xy=12.

所以x+y≥23，当且仅当16x2y2=2xy，xy（x－y）=4，即x=3+1，y=3－1时，等号成立.

故x+y的最小值为23.

点评：将xy，x－y，x+y都分别看作一个整体变量，已知条件中的xy，x－y与未知结论中的x+y三者之间存在的关系为xy（x－y）=4，（x+y）2=（x－y）2+4xy，因此可以用变量xy表示变量x－y，x+y，将求变量x+y的最小值转化为求关于变量xy的函数的最小值.

对于存在约束关系，但不易分离变量的二元变量的最值问题，通常可以采用上述二种思路，求解时要抓住题目的结构特点，运用恰当的解法解决.这种题型的求解规律为：利用换元法转化成可分离变量的二元变量问题、一元变量问题，或者构造齐次分式转化成一元变量问题，或者根据已知条件与未知结论之间存在的关系转化成一元变量问题，再利用导数或均值不等式求最值.