2022年高考全国卷第14题解法的五个视角
2024-11-11徐四保
摘要：对一个数学问题能够从多角度、多视角去探究，有利于我们能切实掌握问题的本质内涵，提高我们灵活解题的能力.
关键词：切线定义;两直线的夹角的斜率计算公式;共交点直线系;四点共圆
（2022年高考全国卷第14题）写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程.
本题是求两个圆的公切线方程，那么首先要确定两个圆的位置关系是相离、相交还是相切（分内切和外切），进而确定两个圆存在几条公切线，然后求解.
1 “圆的切线定义”视角
根据直线与圆相切的定义可知，直线与圆有且只有一个公共点，它等价于直线与圆的方程联立的方程组只有一个解.
解法一：设圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圆心和半径分别为C1，r1和C2，r2，则C1（0，0），r1=1，C2（3，4），r2=4.
因为|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，
所以圆C1与圆C2外切，因此圆C1与圆C2存在三条公切线.
又因为圆心C1到直线l1：x=-1的距离d1=r1=1，所以直线l1与圆C1相切；圆心C2到直线l1：x=-1的距离d2=r2=4，所以直线l1与圆C2相切.所以，直线l1：x=-1是圆C1与圆C2的一条公切线.
联立圆C1与圆C2的方程，得到
x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，
①②
由②-①，整理得圆C1与圆C2的公切线
l2：3x+4y-5=0.
连心线C1C2的方程为y=43x，联立直线l1与连心线C1C2的方程，由x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，则直线l1与连心线C1C2的交点坐标为-1，-43.
设圆C1与圆C2公切线l3：y=kx+b，联立l3与圆C1的方程得到y=kx+b，x2+y2=1，化简整理，得
（k2+1）x2+2kbx+b2-1=0.
所以Δ=（2kb）2-4（k2+1）（b2-1）=0，整理得k2-b2+1=0.又因为直线l3：y=kx+b经过点-1，-43，所以-43=-k+b.联立方程得到k2-b2+1=0，-k+b=-43，解得k=724，b=-2524，所以公切线l3的方程为y=724x-2524，即7x-24y-25=0.
点评：该解法中应用了圆的切线定义来解题，直线与圆的方程构成的方程组只有一个解等价于一元二次方程只有一个实数解，因而判别式Δ=0.
2 “圆心到切线的距离等于半径”视角
利用点到直线的距离公式，计算圆心到切线的距离d，由d与半径r相等列等式求解.
解法二：设圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圆心和半径分别为C1，r1和C2，r2，则C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.
因为|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，
所以圆C1与圆C2外切，因此圆C1与圆C2存在三条公切线.
又因为圆心C1到直线l1：x=-1的距离d1=r1=1，所以直线l1与圆C1相切；圆心C2到直线l1：x=-1的距离d2=r2=4，所以直线l1与圆C2相切.所以，直线l1：x=-1是圆C1与圆C2的一条公切线.
联立圆C1与圆C2的方程，得到
x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②
由②-①，整理得圆C1与圆C2的公切线
l2：3x+4y-5=0.
连心线C1C2的方程为y=43x，联立直线l1与连心线C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，则直线l1与连心线C1C2的交点坐标为-1，-43.设圆C1与圆C2公切线l3：y+43=k（x+1），即kx-y+k-43=0，所以k-43k2+1=1，解得k=724.
所以圆C1与圆C2公切线l3：7x-24y-25=0.
点评：解法二中应用了直线与圆相切的一个基本性质，即圆心到切线的距离等于半径.
3 “圆的两条公切线分别与连心线的夹角相等”视角
利用两直线的夹角的斜率计算公式，结合圆心到切线的距离等于半径求解.
解法三：设圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圆心和半径分别为C1，r1和C2，r2，则C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.
因为|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，
所以圆C1与圆C2外切，因此圆C1与圆C2存在三条公切线.
联立圆C1与圆C2的方程，得到
x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②
由②-①，整理得圆C1与圆C2的公切线
l2：3x+4y-5=0.
由于公切线l1，连心线C1C2，公切线l3相交于一点，设公切线l1与连心线C1C2的夹角为α，连心线C1C2与公切线l3的夹角为β，则α=β，并且tan α=r2-r1|C1C2|2-（r2-r1）2=34.
由于连心线C1C2的斜率k1=43，设公切线l1或l3的斜率为k，那么tan α=k1-k1+k1k.
由43-k1+43k=34，解得k=724或k不存在.
当k=724时，设公切线l3：y=724x+b，即7x-24y+24b=0，则
|24b|72+242=1，|7×3-24×4+24b|72+242=4.
解得b=-2524.
所以公切线l3：7x-24y-25=0.
当k不存在时，设公切线l1：x=m.
由|m|=1，|m-3|=4，解得m=-1.
所以公切线l1：x=-1.
点评：此解法适用于两条公切线的方程都未知的情况下求公切线方程，利用公切线与连心线夹角的性质来解题.
4 “圆的两条公切线与连心线形成的共交点直线系”视角
若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
则直线l3：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ≠0）就是过l1与l2交点的直线.
解法四：设圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圆心和半径分别为C1，r1和C2，r2，则C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.
因为|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，
所以圆C1与圆C2外切，因此圆C1与圆C2存在三条公切线.
又因为圆心C1到直线l1：x=-1的距离d1=r1=1，所以直线l1与圆C1相切；圆心C2到直线l1：x=-1的距离d2=r2=4，所以直线l1与圆C2相切.所以，直线l1：x+1=0是圆C1与圆C2的一条公切线.
联立圆C1与圆C2的方程，得到
x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，
①②
由②-①，整理得圆C1与圆C2的公切线
l2：3x+4y-5=0.
连心线C1C2的方程为y=43x，即4x-3y=0.由于公切线l1、连心线C1C2、公切线l3相交于一点，因此设公切线l3：x+1+λ（4x-3y）=0（λ≠0），即（1+4λ）x-3λy+1=0.
由公切线性质，得
1（1+4λ）2+（-3λ）2=1，|（1+4λ）×3-3λ×4+1|（1+4λ）2+（-3λ）2=4，
解得λ=-825.
所以公切线l3：7x-24y-25=0.
点评：圆的两条公切线与连心线相交于与一点，形成共点直线系.
5 “四点共圆”视角
两公切线与同一个圆的两个切点、这两条公切线的交点及圆心四点共圆，根据条件求出此圆的方程，将此圆方程与原圆的方程联立，解方程组得到两圆的交点坐标，即直线与圆的切点.
解法五：设圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圆心和半径分别为C1，r1和C2，r2，则C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.
因为|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，
所以圆C1与圆C2外切，因此圆C1与圆C2存在三条公切线.
又因为圆心C1到直线l1：x=-1的距离d1=r1=1，所以直线l1与圆C1相切；圆心C2到直线l1：x=-1的距离d2=r2=4，所以直线l1与圆C2相切.所以直线l1：x=-1是圆C1与圆C2的一条公切线.
联立圆C1与圆C2的方程，得到
x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，
①②
由②-①，整理得圆C1与圆C2公切线
l2：3x+4y-5=0.
连心线C1C2的方程为y=43x，联立直线l1与连心线C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，则直线l1与连心线C1C2的交点为D-1，-43.显然公切线l1与圆C1相切于点E（-1，0）.设公切线l3与圆C1相切于点F（x，y），因为∠DEC1=∠DFC1=90°，所以D，E，C1，F四点共圆.设四边形DEC1F的外接圆的圆心为O1，半径为R，则O1为线段DC1的中点，
半径R=12|DC1|.
所以O1-12，-23，且
R=（-1）2+-4322=56.
因此圆O1的方程为x+122+y+232=2536.
联立圆O1与圆C1的方程，可得
x+122+y+232=2536，x2+y2=1，
解得x=725，y=-2425，或x=-1，y=0.
所以F725，-2425.
又因为l3也经过点D-1，-43，
所以公切线l3：7x-24y-25=0.
点评：求直线与圆的切点坐标可转化为解圆O1与圆C1构成的方程组，则方程组的解就是切点坐标，从而求出切线方程.
