“数”“形”思维切入，位置关系突破

摘要：基于直线与圆锥曲线的位置关系，特别是有关相交或相切的问题，是高考命题的一个常见考点.结合一道直线与双曲线相交的高考试题，从“数”与“形”的视角来切入，合理剖析与应用，归纳总结解题技巧与策略方式，指导数学教学与解题研究.

关键词：直线；双曲线；相交；斜率；方程

在圆锥曲线的综合应用问题中，有关直线与圆锥曲线之间的位置关系以及与之相关的综合应用问题，成为历年高考命题中的一个基本考点.基于直线与圆锥曲线的相交、相切等位置关系以及对应的综合应用问题，创设形式多变，内涵丰富精彩，是高考中的一个热点与难点，以各种题型渗透到试卷中去.本文中结合2024年高考数学北京卷第13题的解法探究及拓展，给出相应的教学启示.

1 真题呈现

高考真题（2024年高考数学北京卷·13）已知双曲线x24－y2=1，则过（3，0）且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为.

此题以已知双曲线的方程为问题场景，结合一个已知点在双曲线内部（包含双曲线焦点的区域），通过设置过该已知点且和双曲线只有一个交点的直线的斜率确定来设置问题，全面考查直线与双曲线的位置关系，以及相应的函数与方程思想，逻辑推理与数学运算能力等.

在实际解决问题中，可以结合平面解析几何的基本知识，从“数”的视角切入，利用设线思维来转化与应用；也可以结合平面几何的直观形象，从“形”的视角切入，利用几何思维来直观分析与逻辑推理等.或从“数”的视角进行数学运算，或以“形”的视角进行直观想象等，这是解决此类问题中比较常见的一些基本技巧与方法.

2 真题破解

2.1 “数”的视角

解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，回归“数”的本质，借助直线或圆锥曲线方程的设置，结合直线与圆锥曲线方程的联立，消参并转化为方程问题，借助方程这一代数思维来分析与处理.

解法1：设线法1.

依题意，联立直线x=3与双曲线x24－y2=1，解得y=±52，不符合题意，这表明满足题意的直线的斜率一定存在.

设所求直线的斜率为k，则过点（3，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x－3），联立y=k（x－3），x24－y2=1，化简并整理可得（1－4k2）x2+24k2x－36k2－4=0.

由题意，得1－4k2=0或Δ=（24k2）2+4（1－4k2）＼5（36k2+4）=0.

解得k=±12或无解，即k=±12.经检验，符合题意.

故填答案：±12.

点评：根据直线与双曲线的位置关系来探究二者之间的交点问题，是处理此类问题中最为常用的基本方法.在实际解题过程中，首先要确定直线斜率的存在性，合理加以分类讨论，进而通过设出直线方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解，实现问题的突破与转化.

解法2：设线法2.

依题，设过点（3，0）的直线方程为x=my+3，联立x=my+3，x24－y2=1，化简并整理可得（m2－4）y2+6my+5=0.

由题意，得

m2－4=0或Δ=（6m）2－20（m2－4）=0.

解得m=±2或无解，即m=±2，经检验，符合题意.当m=±2时，可得对应的直线方程为x=±2y+3，其对应的直线的斜率为±12.

故填答案：±12.

点评：根据直线与双曲线的位置关系，从另一个角度来设线处理，也是解决此类问题中比较常用的一种“通性通法”.这样可以有效回避直线的斜率是否存在的分类讨论，给问题求解的完整性与一致性创造条件.同时，相比较于解法1中的设线法，此解法的数学运算量更小，处理起来更加简捷方便.

2.2 “形”的视角

解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，挖掘“形”的结构，利用直线与圆锥曲线的图形的结构特征与几何性质，从图形的直观视角来分析与探究，借助图形特征这一几何思维来分析与处理.

解法3：数形结合法.

由双曲线方程x24－y2=1，可知其渐近线方程为x2±y=0，即y=±x2.

根据双曲线的几何特征，点（3，0）在双曲线的右支内，则可知过（3，0）且和双曲线只有一个交点的直线与双曲线的渐近线平行.

所以所求直线的斜率为±12.

故填答案：±12.

点评：依托双曲线的方程自身这一“数”的基本形式，结合题设中过双曲线的一支内一点作直线与双曲线相交，要确定相应交点的个数，必须心里有“形”的结构特征与直观图形，借助平面解析几何的基本性质，数形结合抓住问题的本质与内涵，巧妙直观形象，合理加以解题分析与逻辑推理.同时，数形结合这一“形”的思维视角，也为问题的进一步变式与拓展创造了条件.

3 变式拓展

3.1 简化变式

变式1已知双曲线x24－y2=1，则过P（3，0）且和双曲线只有一个交点的直线有条.

解析：依题，由于点（3，0）在双曲线内部（包含双曲线焦点的区域），而过（3，0）且和双曲线只有一个交点的直线，数形结合可知其与双曲线的渐近线平行.

因此满足条件的直线有2条.故填答案：2.

3.2 深化变式

变式2已知双曲线x24－y2=1，则过P（3，0）且和该双曲线的右支只有一个交点的直线的斜率的取值范围为.

解析：根据题设条件可知，该双曲线的渐近线方程为x2±y=0，整理可得y=±x2.

数形结合可知，当过点（3，0）的两条直线分别平行于该双曲线的两条渐近线时，此时只有一个交点（因为双曲线与渐近线无限接近，此时直线斜率为±12）.

所以斜率的取值范围在区间－12，12（两条直线之间）上的所有直线，都与双曲线的右支只有一个交点，即直线的斜率的取值范围是－12，12.

故填答案：－12，12.

4 教学启示

4.1 知识归纳，拓展提升

把握直线与圆锥曲线的位置关系中的特殊情形：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点（不是相切情形）；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点（不是相切情形）.

特别要注意的是，直线与双曲线（或抛物线）只有一个交点中，除了以上两种情形外，还有直线与双曲线（或抛物线）相切的情况.在实际解题过程中，要注意挖掘问题的内涵与实质，考虑问题要全面周到.

4.2 方法归纳，灵活应用

解决此类涉及直线与圆锥曲线的位置关系及其综合应用问题时，借助曲线自身的代数关系属性与图形结构特征，或从代数视角切入，利用曲线方程从代数思维加以推理与应用，或从几何视角切入，利用曲线图形从几何思维加以直观分析与应用.借助代数与几何的不同思维视角，可给问题的破解创造更多的思维方式与技巧方法，从而发散数学思维，提升数学关键能力.