存在性判定，思维性应用

摘要：圆锥曲线中的存在探究性问题是一类全面考查数学知识与数学能力的综合应用问题，通常是高考中的一大热点与难点.结合一道椭圆解答题中存在性探究实例，以创新场景创设，就点的存在性问题加以合理判定与思维性应用，归纳解题技巧方法与策略规律，指导解题研究与复习备考.

关键词：椭圆；动点；切线；等差数列；存在

探究性问题通常是高考中备受命题者青睐的一种题型.而圆锥曲线中的探究性问题，更是该模块命题的常见题型之一，以点的存在性、直线的存在性以及参数的存在性等方式来创新设置，通过存在性场景下条件的成立与判断来全面考查并落实数学“四基”，数学知识范围广，解题技巧灵活性大，数学思维性与应用性强.本文中结合一道椭圆解答题的探究，就点的存在性问题加以分析.

1 问题呈现

问题已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），右顶点为A，直线l：x=4与x轴交于点M，且|AM|=a|AF|.

（1）求C的方程.

（2）B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q.

（ⅰ）证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列.

（ⅱ）⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得∠PNQ=90°？若存在，求|BM|；若不存在，请说明理由.

此题以椭圆为问题场景，第（1）问利用椭圆的一些基本点以及对应的数量关系，得以求解椭圆的方程，比较简单，给大部分考生得分的机会；第（2）问的第②小问通过“动点”的引入，利用动点向椭圆引两条切线，先证明对应三条直线的斜率成等差数列，难度中等，给50%左右的考生得分的机会；接下来通过存在性问题的设置来探究，难度有所提升，给一些能力较好的考生以提升与区分的机会.

三个问题的层次设置合理巧妙，层层递进，具有较高的区分度，充分体现了选拔性，是一道非常优秀的高考模拟题.

2 问题破解

2.1 第（1）问的解析

由F（1，0）为右焦点，得c=1，则a＞1.

因为|AM|=a|AF|，所以|4－a|=a（a－1）.

若a≥4，则a－4=a（a－1），得a2－2a+4=0，无解；

若a<4，则4－a=a（a－1），得a2=4.

所以b2=3.因此C的方程为x24+y23=1.

2.2 第（2）问的解析

设B（4，t），易知过B且与C相切的直线斜率存在，设l方程为y－t=k（x－4）.

联立y－t=k（x－4），x24+y23=1，消去y，得

（3+4k2）x2+8k（t－4k）x+4（t－4k）2－12=0.

由Δ=64k2（t－4k）2－4（3+4k2）[4（t－4k）2－12]=0，得12k2－8tk+t2－3=0.

设两条切线BP，BQ的斜率分别为k1，k2，则

k1+k2=8t12=2t3，k1k2=t2－312.

（ⅰ）设BF的斜率为k3，则

k3=t4－1=t3=12（k1+k2）.

所以k1+k2=2k3，即直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列.

（ⅱ）方法1（数量积法1）：在y－t=k1（x－4）中，令x=0，得yP=t－4k1，所以P（0，t－4k1）.同理，得Q（0，t－4k2）.所以PQ的中垂线为y=t－2（k1+k2）.

易得BP中点为（2，t－2k1），所以BP的中垂线为y=－1k1（x－2）+t－2k1.

联立y=t－2（k1+k2），y=－1k1（x－2）+t－2k1，解得点N的坐标为

（2k1k2+2，t－2（k1+k2））.

所以NP=（－2k1k2－2，2k2－2k1），NQ=（－2k1k2－2，2k1－2k2）.

如图1，要使NP·NQ=0，即4（k1k2+1）2－4（k1－k2）2=0，整理得|k1k2+1|=|k1－k2|.

而|k1－k2|=（k1+k2）2－4k1k2=2t32－4×t2－312=t2+93.

所以t2－312+1=t2+93，解得t2=7，t=±7，因此|BM|=7.

故存在符合题意的点B，使得NP·NQ=0，此时|BM|=7.

方法2（数量积法2）：同方法1解得xN=2k1k2+2.

如图1所示，要使NP·NQ=0，则∠PNQ=90°，所以|xN|=|PQ|2，即|k1k2+1|=|k1－k2|.

下同方法1，略.

方法3（夹角公式法）：要使∠PNQ=90°，即∠PBQ=45°或135°，如图2.则|tan ∠PBQ|=1，又tan ∠PBQ=k1－k21+k1k2，所以|k1－k2||1+k1k2|=1.

余略.

方法4（数量积公式法）：要使∠PNQ=90°，即∠PBQ=45°或135°，如图2所示，则有|cos ∠PBQ|=|BP＼5BQ||BP||BQ|=22.

在y－t=k1（x－4）中，令x=0，得yP=t－4k1，所以P（0，t－4k1）.同理得Q（0，t－4k2）.

因此BP=（－4，－4k1），BQ=（－4，－4k2）.

所以BP＼5BQ|BP||BQ|=16+16k1k241+k21×41+k22=22.

故2（1+k1k2）=1+k21k22+k21+k22，即2+2k21k22+4k1k2=1+k21k22+k21+k22，整理得

k21k22+6k1k2+1=（k1+k2）2.

所以t2－3122+6×t2－312+1=2t32，整理得t4+2t2－63=0，解得t2=7或－9（舍去）.因此t=±7，|BM|=7.

故存在符合题意的点B，使得NP·NQ=0，此时|BM|=7.

方法5（等面积法）：要使∠PNQ=90°，即∠PBQ=45°或135°，如图2所示.

同方法1，得P（0，t－4k1），Q（0，t－4k2）.

由等面积法，得12|PQ||xB|=S△PBQ=12|BP|×|BQ|×22，即12|4k1－4k2|×4=12×41+k21×41+k22×22，整理得（k1+k2）2=k21k22+6k1k2+1.

所以2t32=t2－3122+6×t2－312+1，整理得t4+2t2－63=0，解得t2=7或－9（舍去）.因此t=±7，|BM|=7.

故存在符合题意的点B，使得NP·NQ=0，此时|BM|=7.

点评：在解决圆锥曲线中的存在性探究问题时，常用的技巧方法就是转化为直线与圆锥曲线的位置关系等，在此基础上，利用存在性的类型与内容，选用不同的方式与方法来分析与处理.该问题中，对于点的存在性探究，在方法1与方法2中，通过∠PNQ=90°，转化为数量积NP·NQ=0，通过点的坐标以及数量积的坐标公式来应用；在方法3与方法4中，利用圆心角∠PNQ=90°进一步转化为圆周角问题，进而分别利用斜率的夹角公式以及数量积的夹角公式来求解；在方法5中，在转化为圆周角的基础上，利用等面积法，通过面积公式加以转化与应用也是一种非常不错的选择.技巧方法多样，殊途同归.

3 教学启示

涉及圆锥曲线中的存在性探究类问题，往往是基于点的存在、直线的存在或参数的存在等形式，结合条件进行合理逻辑推理或数学运算，根据推理结果或运算结果以及问题场景得到一个合情合理的结论，进而对存在性问题作出相应的回答与判断，形成一个基本的解题思维.

其实，涉及圆锥曲线中的存在性探究类问题，无论创设场景与存在性条件如何变化，常见的基本类型主要包括以下几种类型：（1）肯定型，即符合条件的对象必存在；（2）否定型，即具有某种性质的对象不存在；（3）探索型，即是否存在具有某种性质的对象不得而知，通过分析、推理，最终产生结论.

对于圆锥曲线中的存在性探究类问题的解决，以创新开放的形式来合理创设，给问题的设置创设合理的梯度与难度，方便人才教育的培养与选拔，进而有效提高了问题的综合性、应用性以及创新性等，成为更加全面、细致地考查学生的“四基”与“四能”的一种重要方式.