含参函数奇偶性，方法与素养齐飞

摘要：函数奇偶性作为函数的基本性质之一，是历年高考数学中的一大基本考点，经常以小题（选择题或填空题）形式出现，难度适中，变化多端.结合2023年高考数学新高考Ⅱ卷第4题，以含参的复杂函数的奇偶性来确定参数值，归纳剖析解题技巧与方法，链接高考，变式拓展，指导数学教学与复习备考.

关键词：函数；奇偶性；参数；定义；性质

函数奇偶性是历年高考数学中对函数模块知识的重点考查内容之一，常考常新，变化多端.下面结合一道2023年高考数学真题，就含参复杂函数的奇偶性应用，通过不同思维视角与技巧方法来展开，归纳总结解题技巧与策略，抛砖引玉，以方便全面系统教学与学习，对数学教学与学习提供此许帮助.

1 真题呈现

高考真题（2023年高考数学新高考Ⅱ卷·4）若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1为偶函数，则a=（）.

A.－1

B.0

C.12

D.1

此题以含参的复杂函数的奇偶性为问题场景，借此来确定并求解相应的参数值.题目简单明了，难度也相对简单.

解决具有奇偶性的含参复杂函数的参数值问题，定义是根本，特殊值是应用，性质是提升，验证排除是技巧，从不同思维视角切入，合理展开不同的解题过程与应用，实现参数值的求解.

2 真题破解

方法1：定义法.

解析：依题知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，则函数f（x）的定义域为x|x<－12，或x>12，其定义域关于坐标原点对称.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1为偶函数，则对定义域内的任意自变量x都有f（x）=f（－x），即

（x+a）ln 2x－12x+1=（－x+a）ln －2x－1－2x+1.

而（－x+a）ln －2x－1－2x+1=（－x+a）ln 2x+12x－1=（x－a）ln 2x－12x+1，

则x+a=x－a恒成立，即a=0.

故选择答案：B.

解后反思：利用函数奇偶性的定义是解决与相关函数的奇偶性有关的综合应用问题最为重要的技巧与方法之一.对于具有奇偶性的函数，其定义域是关于坐标原点对称的，这也是解决与函数奇偶性有关的综合应用问题的基础与前提.利用定义法解决此类与函数奇偶性有关的综合应用问题时，要注意对比相关的解析式、系数、参数、函数值等之间的关系.

方法2：特殊值法.

解析：依题知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，则函数f（x）的定义域为x|x<－12，或x>12，其定义域关于坐标原点对称.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1为偶函数，取特殊值，可知f（1）=f（－1），即

（1+a）ln 13=（－1+a）ln 3.

整理为－（1+a）ln 3=（－1+a）ln 3.

于是－（1+a）=－1+a恒成立，解得a=0.

故选择答案：B.

解后反思：对于具有奇偶性的函数，其在定义域内的任意一组关于坐标原点对称的自变量的值都必须满足对应的关系，偶函数满足f（x）=f（－x），奇函数满足f（x）=－f（－x），这为利用特殊值法处理问题提供了条件.从特殊思维入手，以特殊情况下满足的条件回归到一般情况中去，实现特殊到一般的转化与应用，符合辩证唯物主义思想，是解决一些相关问题中经常用到的一种思维方式.

方法3：性质法.

解析：依题知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，则函数f（x）的定义域为x|x<－12，或x>12，其定义域关于坐标原点对称.

设函数g（x）=ln 2x－12x+1，易知函数g（x）是奇函数.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1为偶函数，利用性质可知函数y=x+a为奇函数，

可得a=0.

故选择答案：B.

解后反思：根据两个及以上具有相应奇偶性的简单函数之间的加、减、乘、除等运算，构建复杂函数所具有的奇偶性性质，可以非常巧妙地处理一些与函数奇偶性有关的综合应用问题.这里借助性质法，利用“两个奇函数（或两个偶函数，或一个奇函数一个偶函数）的乘积函数为偶函数（或偶函数，或奇函数）”的性质，可以简单快捷地处理与之相关的应用问题.

方法4：验证排除法.

解析：对于选项A，当a=－1时，f（x）=（x－1）＼5ln 2x－12x+1，此时f（1）=0，f（－1）≠0，不满足f（x）为偶函数时有f（1）=f（－1）成立，排除该选项.

同理，可以排除选项D.

对于选项C，当a=12时，f（x）=x+12＼5ln 2x－12x+1，此时f（1）=32ln 13=－32ln 3，f（－1）=－12ln 3，也不满足f（x）为偶函数时有f（1）=f（－1）成立，排除该选项.

故选择答案：D.

解后反思：在解决一些涉及含参的定义、定理、公式等的相关问题时，经常可以将选项中各参数值代入题目条件中进行验证，排除不满足条件的选项，直至结果出现.验证排除法是逆向思维的一种方式，也是推理应用中比较常用的一种技巧方法，借助选项中结论的给出，代回题目条件加以验证，从而得以确定准确答案.

3 链接高考

涉及含参偶函数的参数求值问题，还出现在2023年其他高考数学试卷中，以不同的方式来展示与应用.

真题1（2023年高考数学全国甲卷理13文14）若y=（x－1）2+ax+sinx+π2为偶函数，则a=.

解析：依题知函数y=f（x）=（x－1）2+ax+sinx+π2=x2－2x+ax+1+cos x，其定义域为R.

若f（x）为偶函数，根据偶函数的定义，

可知

f（－x）=x2+2x－ax+1+cos x=f（x）=x2－2x+ax+1+cos x.

对比系数可知2－a=－2+a，解得a=2.

故填答案：2.

真题2（2023年高考数学全国乙卷理4文5）已知f（x）=xexeax－1是偶函数，则a=（）.

A.－2B.－1C.1D.2

解析：依题知f（x）是偶函数，根据偶函数的定义，

可知f（－x）=－xe－xe－ax－1=－xex1eax－1=－xeax－x1－eax=xeax－xeax－1=f（x）=xexeax－1.

对比系数可知a－1=1，解得a=2.故选择：D.

当然，以上两个高考真题也可以利用定义法、特殊值法以及性质法（或验证排除法）中相关的技巧与方法来处理，这里不多加展开.

4 变式拓展

基于问题场景，深入探究与应用，综合函数的奇偶性与单调性，结合函数值的大小比较来合理变式与创设，得到以下对应的变式问题.

变式若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1为偶函数，则（）.（答案：B）

A.f（－1）>f（2）>f（3）

B.f（3）>f（2）>f（－1）

C.f（－1）>f（3）>f（2）

D.f（2）>f（－1）>f（3）

5 教学启示

作为高考数学中的必考知识点之一，函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，合理联系起函数模块的知识体系与数学的综合应用，体现了函数中“数”与“形”之间的和谐统一，是进行数学分析、数学应用与数学研究的一大有力工具.

熟练掌握并应用函数奇偶性的定义、性质等来分析与解决问题，能全面提升对数学知识、数学思想方法和数学能力的融会贯通，提升数学思维品质，提高数学能力，培养核心素养.