特殊值法巧用，高考真题妙解

特殊值法思维是解决数学问题中最为特殊的一种“巧技妙法”，是解决问题的“通性通法”的升华与提升.特别，在历年高考数学试卷的一些客观题的解答中，借助特殊值（不同场景，对特殊值有不同的类型变化）的选取，巧妙利用特殊值法，可以非常简捷地处理一些相关问题，真正达到“小题小做”“小题巧做”“小题快做”等良好解题效益，倍受师生喜欢与追求.本文中结合2023年高考数学真题，就一些客观题中特殊值法的合理选用与巧妙应用加以实例剖析.

1 函数图象的应用

例1函数f（x）的图象如图1所示，则f（x）的解析式可能为（）.

A.5（ex－e－x）x2+2

B.5sin xx2+1

C.5（ex+e－x）x2+2

D.5cos xx2+1

分析：根据函数图象的变化情况，利用函数图象与坐标轴的交点等，通过特殊值的选取，借助对应图象中相应函数值的正负，排除相应不满足条件的选项，达到确定正确选项的目的.这比常规思维中利用函数的奇偶性及其应用来分析与判断更加简单，以“形”代“数”，处理起来方便快捷.

解析：依题中的函数图象，

选取特殊值x=0，可得f（0）>0，可以排除选项A，B；

再选取特殊值x=2（或x=－2），可得f（2）<0（或f（－2）<0），可以排除选项C.

故选择答案：D.

点评：利用特殊值法解决函数的图象与性质问题时，要注重特殊值法与对应函数图象变化趋势的联系，深入体会特殊思维与一般思维的化归与转化，以及数学中有限与无限的思想方法等，从而形成解题思维与应用技巧.

2 参数值的确定

例2若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1为偶函数，则a=（）.

A.－1

B.0

C.12

D.1

分析：根据含参函数的奇偶性，在确定其定义域的情况下，通过关于坐标原点对称的一组特殊值的选取，结合函数的奇偶性构建相应的特殊关系式，利用方程的求解来确定相应的参数值，是应用特殊值法时的一种常见模式.这比常规思维中利用偶函数的定义来分析与求解更加直接，数学运算更加简化.

解析：依题知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，则函数f（x）的定义域为x|x<－12，或x>12，其定义域关于坐标原点对称.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1为偶函数，取特殊值，可知f（1）=f（－1），有（1+a）ln 13=（－1+a）ln 3，即－（1+a）ln 3=（－1+a）ln 3，

则有－（1+a）=－1+a恒成立，解得a=0.故选择答案：B.

点评：巧妙利用特殊值法，借助函数奇偶性的定义来构建关系式，为特殊值法处理问题提供条件.从特殊思维入手，以特殊情况下满足的条件回归到一般情况中去，实现特殊到一般的转化与应用，符合辩证唯物主义思想，是解决一些相关问题中经常用到的一种思维方式.

3 取值范围的求解

例3设函数f（x）=2x（x－a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）.

A.（－∞，－2]B.[－2，0）

C.（0，2]D.[2，+∞）

分析：根据题设中函数在给定区间上的单调性，得到区间端点所对应的函数值之间的关系，确定参数的取值范围，是问题的一种特殊情况，也为验证排除法的应用提供一个直接的依据.

解析：依题意，函数f（x）=2x（x－a）在区间（0，1）单调递减，

则必满足f（0）>f（1），即20>21－a，则0>1－a，解得a>1.

对比各选项加以验证，只有选项D满足.

故选择答案：D.

点评：参数取值范围的求解，可以借助特殊值法的应用，以特殊场景来验证并排除一些不满足条件的选项，给正确快捷判断与应用奠定基础，成为解决此类问题中一种比较特殊的技巧方法，也是辩证统一思维的一种具体形式，在一些相关选择题的应用中有奇效.特殊值法可以优化逻辑推理，减少数学运算，做到“小题小做”或“小题巧做”，快速实现问题的破解.

4 代数式的构建

例4已知向量a=（1，1），b=（1，－1），若（a+λb）⊥（a+μb），则（）.

A.λ+μ=1

B.λ+μ=－1

C.λμ=1

D.λμ=－1

分析：根据平面向量两个含参的线性关系的变化情况，借助特殊值法思维，以特殊值来赋值其中的一个参数，进而求解其他相关的参数值，再结合选项加以合理排除与应用.这比常规思维中平面向量数量积的坐标运算更加优化，处理起来工作量相对减少.

解析：选取特殊值μ=1，依题知a+λb=（1，1）+λ（1，－1）=（1+λ，1－λ），

a+μb=a+b=（1，1）+（1，－1）=（2，0）.

由（a+λb）⊥（a+μb），得（a+λb）·（a+b）=0，

即（1+λ，1－λ）·（2，0）=2+2λ=0，解得λ=－1.

此时λ+μ=0，λμ=－1，结合题目中的选项，故选择答案：D.

点评：多变量代数式的定值问题，其中一个变量取值的变化会导致另一个变量（或多个变量）取值的变化，可以为特殊值的应用奠定基础.当然，随着特殊值选取的变化，解题过程也随之改变，但结果不会有改变，这也是利用特殊思维解决选择题中比较常见的思维方式与理论基础.

5 向量模的求解

例5已知向量a，b满足|a－b|=3，|a+b|=|2a－b|，则|b|=.

分析：抓住题设条件中平面向量之间的线性关系，根据条件中关系式的特殊结构形式，以特殊的零向量、特殊的数乘向量关系等代入满足的关系式，借此通过特殊值的应用来巧妙解决问题.这比常规思维中平面向量的模运算、数量积运算以及坐标运算等更加简化，处理起来更加优化.

解析1：特殊值法1.

依题意|a+b|=|2a－b|，显然当a=0这个特殊向量时，有|0+b|=|0－b|，该关系式成立.

此时|a－b|=|－b|=|b|=3.故填答案：3.

解析2：特殊值法2.

依题意|a+b|=|2a－b|，显然当满足a=2b这个特殊关系式时，有|2b+b|=|4b－b|=3|b|，该关系式成立.

此时|a－b|=|2b－b|=|b|=3.故填答案：3.

点评：这里选取的特殊向量及特殊关系式具有一定的目标性，是用两个平面向量的模之间的关系来构建，可以从不同特殊向量的选取来达到目的.这也对特殊值法的应用提出了一个要求，即不能盲目地选取特殊值，而是要根据题设条件，借助关系式的结构特征、图象的几何性质、变量的变化规律等加以合理选取.

6 探究判断

例6已知a∈R，记y=sin x在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（）.

A.sa>0，ta>0

B.sa<0，ta<0

C.sa>0，ta<0

D.sa<0，ta>0

分析：依据题设中含参区间及其对应的最小值，要探究判断各选项中最小值的正负取值情况，直接研究比较困难，没有头绪，可通过选取参数a的特殊值，确定对应的区间，结合正弦函数y=sin x的图象来确定函数的最值点情况，达到探究判断的目的.

解析：依题目给定的区间知a>0，而区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同.

取特殊值a=π6，则区间[a，2a]=π6，π3，区间[2a，3a]=π3，π2，结合正弦函数y=sin x的图象，可知sa>0，ta>0，故选项A可能；

取特殊值a=5π12，则区间[a，2a]=5π12，5π6，区间[2a，3a]=5π6，5π4，结合正弦函数y=sin x的图象，可知sa>0，ta<0，故选项C可能；

取特殊值a=7π6，则区间[a，2a]=7π6，7π3，区间[2a，3a]=7π3，7π2，结合正弦函数y=sin x的图象，可知sa<0，ta<0，故选项B可能.

综合以上特殊值分析，可知不可能的是sa<0，ta>0.故选择答案：D.

点评：解决此类探究判断或开放创新应用问题时，特殊值法也是非常不错的一种技巧方法.利用特殊值法的应用，借助举例来确定不可能的情况，回避复杂的逻辑推理与数学运算.

利用特殊值法解决一些具有确定结论的选择题或填空题时，借助特殊值（不同问题场景下，对特殊值的类型形式有不同的变化，如涉及特殊点、特殊函数、特殊向量、特殊图形、特殊角、特殊数列等）的应用，以特殊思维代替一般思维，又回归到一般情况，符合辩证唯物主义思想.

巧妙利用特殊值法破解数学客观题，有其特殊的优势与美妙的体验，是数学“四基”落实并上升到一定程度的特殊“产物”，是特殊思维与一般思维的转化与升华，在一定程度上可以简化繁杂的逻辑推理与复杂的数学运算等，合理降低数学知识的复杂层次，巧妙弱化数学基础的知识难度，全面强化数学思想与技巧方法，从而优化数学解题过程，提升数学解题效益，节省宝贵考试时间.