挖掘问题本质，实现“一题多解”

三角最值问题一直是高考数学试卷中的常见热点题型之一，可以合理并巧妙融合三角函数的基本概念与基本公式、函数与方程、不等式等相关知识，实现不同知识模块间的交汇，这也为此类三角最值问题的解决提供了方式各异的数学思维视角与切入点，是充分展示知识交汇、体现方法多样性的一大重要场所.

1 问题呈现

问题（2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试）设x，y∈0，π2，则1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值为（）.

A.8

B.9

C.10

D.其他三个选项均不对

本题以双变量所对应的三角函数关系式的构建，交汇与融合

了三角函数、函数、不等式等相关知识.

破解此类多变元（特别是双变元）代数式的最值问题，往往从不等式、函数与方程等视角切入，结合不同的数学思维与技巧策略加以分析与应用，呈现精彩纷呈、灵活多变的技巧方法.

2 问题破解

2.1 思维视角一：不等式思维

方法1：基本不等式法.

解析：由三角变换及基本不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x=sin2x+cos2xcos2x+4sin2x+4cos2xsin2x=sin2xcos2x+4cos2xsin2x+5≥2sin2xcos2x×4cos2xsin2x+5=9，

当且仅当sin22y=1，且sin2xcos2x=4cos2xsin2x，即y=π4，tan x=2时，等号成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值为9.选：B.

解后反思：根据三角关系式进行二倍角的恒等变形，借助三角函数的基本性质加以合理放缩达到消参的目的，利用常数1=sin2x+cos2x进行代换处理，进而结合三角关系式的恒等变形，利用基本不等式来确定相应的最值问题.借助关系式的结构特征，合理配凑基本不等式成立的条件，为进一步利用基本不等式确定最值提供条件.

这里利用三角恒等变换中的二倍角公式以及三角函数的基本性质来进行消参与放缩法，得到1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，其实还可以利用以下其他方法来进行合理放缩与消元处理，都可以达到相应的目的.

（1）基本不等式法：1cos2x+1sin2xsin2ycos2y≥1cos2x+1sin2x×sin2y+cos2y22=1cos2x+4sin2x，当且仅当sin y=cos y，即y=π4时，等号成立.

（2）权方和不等式法：1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+1sin2x1sin2y+1cos2y≥1cos2x+1sin2x×（1+1）2sin2y+cos2y=1cos2x+4sin2x，当且仅当sin y=cos y，即y=π4时，等号成立.

方法2：柯西不等式法.

解析：由三角变换及柯西不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x=1cos2x+4sin2x（cos2x+sin2x）≥1cos x×cos x+2sin x×sin x2=9，

当且仅当sin22y=1，且1cos x×sin x=2sin x×cos x，即y=π4，tan x=2时，等号成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值为9.

解后反思：根据题设在放缩消参后，利用常数1=sin2x+cos2x进行“乘1”处理，利用柯西不等式来确定相应的最值问题.在关系式的恒等变形与合理配凑时，要注意柯西不等式中等号成立的条件，同时要注意变量之间的对应，目的就是同时满足等号成立的条件以及合理确定最值.

方法3：权方和不等式法.

解析：由三角变换及权方和不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x≥（1+2）2cos2x+sin2x=9，

当且仅当sin22y=1，且1cos2x=2sin2x，即y=π4，tan x=2时，等号成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值为9.

解后反思：根据题设在放缩消参后，利用分式关系式的结构特征吻合权方和不等式的条件，进而借助权方和不等式进行合理放缩处理，得以确定相应的最值问题.倒数和式的关系式结构特征，同时满足常数1=sin2x+cos2x这一基本公式，借助权方和不等式可以达到非常好的消参与确定最值的目的.

2.2 思维视角二：函数与方程思维

方法4：判别式法.

解析：由于1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，因此

令t=1cos2x+4sin2x>1，则t=11－sin2x+4sin2x（t＞1），整理可得tsin4x－（t+3）sin2x+4=0.

依题知，以上关于sin2x的二次方程有实根，

利用判别式可得Δ=（t+3）2－16t≥0，整理有t2－10t+9≥0，解得t≥9，或t≤1（舍去）.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值为9，当且仅当sin22y=1，且sin2x=23，即y=π4，sin x=63时，等号成立.

解后反思：根据题设在放缩消参后，合理进行整体换元处理，结合“1=sin2x+cos2x”这一基本关系式进行消元，转化为相关的二次方程问题，借助判别式法巧妙构建对应的不等式，利用不等式的求解来确定相应的最值问题.合理联系起三角关系式，巧妙放缩，结合换元处理以及方程的构建，利用判别式法转化为对应的不等式问题，实现问题的转化与应用.

方法5：导数法.

解析：由于1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，因此可令t=sin2x∈（0，1），构建函数f（t）=11－t+4t，t∈（0，1）.

求导，得f′（t）=1（1－t）2－4t2.

由f′（t）=0，可得t=23，或t=2（舍去）.

当t∈0，23时，f′（t）<0，函数f（t）单调递减；当t∈23，1时，f′（t）>0，函数f（t）单调递增.

所以可得f（t）min=f23=9，即1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值为9，当且仅当sin22y=1，且t=sin2x=23，即y=π4，sin x=63时，等号成立.

解后反思：根据题设在放缩消参后，合理整体换元，结合“1=sin2x+cos2x”这一基本关系式进行消元处理，将问题转化为相关的函数问题，结合函数的构建，通过导函数零点的确定以及函数单调性的判断，得以确定函数的最值问题.函数的构建为进一步利用导数法来处理问题提供基础，也是解决此类问题中比较常用的一种技巧与方法，思路常规，数学运算量大.

3 变式拓展

变式1设x，y∈0，π2，则1cos2x+4sin2x的最小值为.

变式2设正数x，y满足x+y=1，则1x+4y的最小值为.

注：变式1与变式2的答案均为9.

4 教学启示

借助三角函数、函数的最值等多知识模块之间的交汇与融合问题，多思维视角切入，多技巧方法破解，并加以深入分析、探究、拓展与应用，充分挖掘这一典型问题，达到“一题多思”“一题多解”的目的，在此基础上加以不断提升，实现“一题多变”“一题多拓”，充分复习、巩固、总结数学相关知识和数学思想方法，为学生形成良好的思维方法、优良的数学品质以及数学核心素养做了有益的尝试.