重心巧创新，向量妙“包装”

摘要：三角形的重心作为平面几何中的一个基本知识点，具有良好的几何性质与创设场景，往往在解三角形、平面向量、解析几何等相关问题中具有非常重要的价值.结合一道抛物线模拟题，就三角形重心背景下的解析几何问题加以剖析，多思维视角切入，多技巧方法破解，总结解题技巧规律，启示教学应用与解题研究.

关键词：抛物线；向量；重心；坐标；面积

三角形中的“心”（重心、内心、外心、垂心、旁心）问题，是初中平面几何的一个重点与难点.而借助三角形中“心”的巧妙创设，合理融合初中与高中数学知识，形成二者之间的无缝结合，是一类非常不错的创新应用问题.

而对于三角形的重心，因其良好的几何性质、结构形式、向量形式、坐标形式等众多的识别特征，同时兼备“数”与“形”的双重特征，可以合理交汇起平面几何、解三角形、平面向量、三角函数以及解析几何等相关知识，情境创新，应用性强，是新高考数学命题中一类热点与创新问题，倍受各方关注.

1 问题呈现

问题〔2023届重庆市巴蜀中学高三（上）数学适应性试卷（四）〕设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若M（3，0），N（－1，0），PF与MQ相交于点T，且TN+TP=MT，则△TMF的面积为.

此题以抛物线为问题场景进行创设，结合点的坐标、直线的交点、平面向量的线性关系式等要素，巧妙将三角形的重心这一平面几何的元素，借助平面向量的线性关系这一表述加以合理创新“包装”，正确转化与识别，巧妙挖掘与回归，问题的转化也就水到渠成了.

这里选用了解析几何中的抛物线作为载体，利用平面向量的线性关系与线性形式来表示三角形的重心，破解的关键在于正确剖析题设条件，做出正确的转化，借助三角形的重心的基本性质及相关应用，无论是平面几何中的相似比或性质法，还是解析几何中的坐标法等，都可以快速、准确地求出结果.

2 问题破解

2.1 平面几何思维

方法1：三角形相似转化法.

解析：由TN+TP=MT，可得TM+TN=－TP.

又因为易知F（1，0）为线段MN的中点，则TM+TN=2TF，所以2TF=－TP.

所以T为PF的三等分点，且|TP|=2|TF|，如图1所示.

又因为PQ∥MF，所以易证△TMF∽△TQP，则可得|MF||QP|=|TF||TP|=12，可得|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，设P（x0，y0），且在第一象限.

由抛物线的定义，得|QP|=x0+1=4，则x0=3.

又因为点P（3，y0）在抛物线上，代入抛物线方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根据三角形的相似关系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

方法2：平行四边形转化法.

解析：如图2所示，设MT=TR，连接PR，NR，

根据TN+TP=MT，可得TN+TP=TR，所以可知四边形TNRP为平行四边形.

所以RN∥PT，|RN|=|PT|.

而F（1，0）为MN的中点，结合三角形的中位线定理可得|RN|=2|TF|，

则知T是线段PF的三等分点.

又因为PQ∥MF，所以△TMF∽△TQP，则|MF||QP|=|TF||TP|=12，可得|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，设P（x0，y0），且在第一象限.

由抛物线的定义，得|QP|=x0+1=4，则x0=3.

又因为点P（3，y0）在抛物线上，代入抛物线方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根据三角形的相似关系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

方法3：重心性质转化法.

解析：由TN+TP=MT，可得TN+TP+TM=0，则知点T是△PMN的重心.

又因为PQ∥MF，则有|MF||QP|=|TF||TP|=12，所以|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，设P（x0，y0），且在第一象限.

由抛物线的定义，得QP=x0+1=4，则x0=3.

又因为点P（3，y0）在抛物线上，代入抛物线方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根据三角形的相似关系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

解后反思：根据题设条件，借助平面几何思维，通过两个三角形相似、平行四边形的构建或三角形重心的确定等方式，结合相似比或基本性质，构建线段之间的倍数关系，进一步综合抛物线的定义与几何性质来确定对应点的坐标，结合三角形的面积公式来分析与求解.利用平面几何思维解决解析几何问题，其关键是数形结合，借助平面几何的基本性质来直观分析与巧妙转化.

2.2 解析几何思维

方法4：重心坐标法.

解析：由TN+TP=MT，可得TN+TP+TM=0，则知点T是△PMN的重心.

设点P（t2，2t），结合M（3，0），N（－1，0），利用三角形的重心坐标公式可得Tt2+23，2t3，如方法1中的图1所示.

而Q（－1，2t），结合kMQ=kMT，可得2t－0－1－3=2t3－0t2+23－3，整理有t2=3，则|t|=3.

所以S△TMF=16S△PMN=16×12×|MN|×|2t|=233.故填答案：233.

解后反思：根据题设条件，通过平面向量的线性运算与转化，进行三角形重心的确定，结合三角形重心的几何性质与坐标公式来确定对应的重心坐标，利用三点共线时对应的直线斜率相等，结合直线的斜率公式、三角形的面积公式来分析与求解.利用解析几何思维来处理解析几何问题，回归本质与内涵，关键是合理设点或设线，并结合公式对参数进行转化与求值.

3 变式拓展

探究1：回归问题的实质，将平面向量的线性关系式的“包装”直接换成三角形的重心这一条件，得到以下更加直接的变式问题.

变式1设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若M（3，0），N（－1，0），PF与MQ相交于点T，且点T恰好是△PMN的重心，则△TMF的面积为.

答案：233.

变式2设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若M（3，0），N（－1，0），PF与MQ相交于点T，且TN+TP=MT，则点T的纵坐标为.

答案：±233.

以上两个变式问题的具体解析过程，可以参照以上原问题的解析来展开，这里不多加叙述.

4 教学启示

4.1 掌握重心特征，寻觅切入视角

涉及三角形的重心的几何特征与基本性质主要包括以下几类：（1）长度比值的角度，表现为1∶2（或2∶1等）的比例关系；（2）坐标参数的角度，表示为坐标形式xA+xB+xC3，yA+yB+yC3；（3）平面向量的线性关系的角度，表示为GA+GB+GC=0（其中G为△ABC的重心）等.

借助以上三角形重心的几何特征加以挖掘，在此基础上寻觅合适的视角切入，结合平面几何、解析几何、解三角形等相关知识加以分析与处理，都会有不错的收获.

4.2 创新思维方法，提升关键能力

在实际分析与解决相关的数学问题时，关键在于合理挖掘题设条件，开阔并发散数学思维，从而形成多思维、多视角、多方法的解题与应用，一题多解，创新数学思维与技巧方法.

通过数学思维方法的创新与应用，结合“一题多解”，开阔解题思路，发散数学思维，使得我们学会多角度分析和解决问题.在此基础上，全面实现数学基础知识、数学思想方法的综合与应用，融合初中与高中相关数学之间的联系与应用，提升关键能力，培养数学核心素养.