三角搭台 导数唱戏：探究与三角函数交汇的函数导数问题

摘要：以三角函数为载体的函数导数问题，在近年高考试题中频频出现.文章以几道2023年高考试题为例，探究该类问题的一般求解策略.

关键词：三角；导数；求解策略

2023年高考新高考全国卷Ⅱ第22题，全国甲卷理第21题、文第20题均考查以三角函数为载体的导数问题.该类问题由于对三角函数无论进行几次求导，仍含有三角函数，成为解题中的难点.下面笔者以2023年高考试题为引例，探究该类问题解题策略，以期抛砖引玉.

1 引例

（2023年高考数学全国甲卷·文20）已知函数f（x）=ax－sin xcos 2x，x∈0，π2.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）+sin x<0，求a的取值范围.

解法赏析：（1）因为a=1，所以函数f（x）=x－sin xcos 2x，x∈0，π2，于是求导可以得到

f′（x）=1－cos x＼5cos 2x－2cos x＼5（－sin x）＼5sin xcos 4x=1－cos 2x+2sin 2xcos 3x

=cos 3x－cos 2x－2（1－cos 2x）cos 3x=cos 3x+cos 2x－2cos 3x.

令t=cos x，由于x∈0，π2，则有t=cos x∈（0，1），所以cos 3x+cos 2x－2=t3+t2－2=t3－t2+2t2－2=t2（t－1）+2（t+1）（t－1）=（t2+2t+2）＼5（t－1）.因为t2+2t+2=（t+1）2+1>0，t－1<0，cos 3x=t3>0，

所以f′（x）=cos 3x+cos 2x－2cos 3x<0在0，π2上恒成立，故f（x）在0，π2上单调递减.

评析：代入a=1后，再对f（x）求导，同时利用三角函数的平方关系化简f′（x），再利用换元法判断其分子与分母的正负情况，从而得解.

（2）法一：令g（x）=f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x0<x<π2，则

g′（x）=a－1+sin 2xcos 3x+cos x0<x<π2.

若g（x）=f（x）+sin x<0，且g（0）=f（0）+sin 0=0，

结合g′（x）的单调性，则g′（0）=a－1+1=a≤0，解得a≤0.

当a=0时，因为sin x－sin xcos 2x=sin x1－1cos 2x，

又x∈0，π2，则0<sin x<1，1cos 2x>1，

所以f（x）+sin x=sin x－sin xcos 2x<0，满足题意；

当a<0时，由于0<x<π2，显然ax<0，

所以f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x<sin x－sin xcos 2x<0，满足题意.

综上，若f（x）+sin x<0，等价于a≤0.

所以a的取值范围为（－∞，0］.

评析：构造函数g（x）=f（x）+sin x，可以得到g（x）<0，注意到g（0）=0，结合g′（x）的单调性得到g′（0）≤0，进而得到a≤0，再分类讨论a=0与a<0的情况即可得解.

法二：易得sin x－sin xcos 2x=sin xcos 2x－sin xcos 2x=sin x（cos 2x－1）cos 2x=－sin 3xcos 2x.

因为x∈0，π2，所以0<sin x<1，0<cos x<1.故sin x－sin xcos 2x<0在0，π2恒成立.

（ⅰ）当a=0时，f（x）+sin x=sin x－sin xcos 2x<0，满足题意.

（ⅱ）当a<0时，由于0<x<π2，显然ax<0，

所以f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x<sin x－sin xcos 2x<0，满足题意.

（ⅲ）当a>0时，f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x=ax－sin 3xcos 2x.

令g（x）=ax－sin 3xcos 2x0<x<π2，则g′（x）=a－3sin 2xcos 2x+2sin 4xcos 3x.

注意到g′（0）=a－3sin 20cos 20+2sin 40cos 30=a>0.

若x∈0，π2，g′（x）>0，则g（x）在0，π2上单调递增.

注意到g（0）=0，所以g（x）>g（0）=0，即f（x）+sin x>0，不满足题意.

若x0∈0，π2，g′（x0）<0，则g′（0）g′（x0）<0，

所以在0，π2上最靠近x=0处必存在零点x1∈0，π2，使得g′（x1）=0，

此时在（0，x1）上有g′（x）>0，所以g（x）单调递增，

则在（0，x1）上有g（x）>g（0）=0，即f（x）+sin x>0，不满足题意.

综上，可知a≤0.

评析：先化简并判断得sin x－sin xcos 2x<0恒成立，再分类讨论a=0，a<0与a>0三种情况，利用零点存在定理与隐零点知识判断得a>0时不满足题意.

2 高考链接

题1（2019年高考全国Ⅰ卷·理20）已知函数f（x）=sin x－ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数.证明：

（1）f′（x）在区间－1，π2存在唯一极大值点；

（2）f（x）有且仅有2个零点.

题2（2023年高考数学新课标Ⅱ卷·22）

（1）证明：当0<x<1时，x－x2<sin x<x；

（2）已知函数f（x）=cos ax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的极大值点，求a的取值范围.

3 方法归纳

根据三角函数的特点，破解这类函数与导数交汇问题，除了使用求解导数问题的常规方法外，还可充分结合三角函数的性质，在解法上呈现特别的“三角味”，常见的有以下方法：

（1）三角函数在各个象限符号的变化及周期性，研究三角函数的零点问题，常用逐个区间分析法.

（2）根据三角函数的有界性，常利用|sin x|≤1及|cos x|≤1这两个结论进行放缩.

（3）利用当x∈0，π2时，sin x＜x进行放缩变形，实现“超越式”到“非超越式”的转化.

（4）对一个较复杂的三角函数式，先观察式中几部分之间的联系，利用换元可使得式子简化，同时实现了“超越式”到“非超越式”的转化，换元时须注意新变量的取值范围.

4 变式训练

变式1已知函数f（x）=ex－2x－cos x.

①当x∈（－∞，0）时，求证：f（x）＞0；

②若函数g（x）=f（x）+ln（x+1），求证：函数g（x）存在极小值.

方法提示：第（1）问即利用sin x≤1判断出f′（x）＜0，第（2）问先构造函数h（x）=g′（x），由逐个区间分析法易得当x∈0，π2时，h′（x）＞0，从而h（x）=g′（x）＞g′（0）=0，进而研究h′（x）在x∈（－1，0）时的符号.显然h′（0）=1，直观感知当x→－1时，h′（x）＜0，但如何取函数h′（x）在（－1，0）上的零点是一个难点.这里仍需关注三角函数的有界性，取一个接近－1的数，如取－910，可得h′－910＜0.

变式2已知函数f（x）=ax－sin x（a∈R）.当0＜x＜π2时，f（x）＜x36恒成立，求a的取值范围.

方法提示：利用当x∈0，π2时，sin x＜x，从而有sin 2x2＜x22.