2023年新高考Ⅰ卷第17题的多解、溯源、变式

高考真题是命题专家集体智慧的结晶，既具有选拔功能，又对教学起着导向作用.教师只有深入研究高考真题，才能提高教学效益.下面是笔者对2023年新高考Ⅰ卷第17题的一些思考，与大家交流.

1 考题再现

（2023年全国高考数学新高考Ⅰ卷第17题）已知在△ABC中，已知A+B=3C，2sin（A－C）=sin B.

（1）求sin A;

（2）设AB=5，求AB边上的高.

这是一道解三角形与三角函数综合的解答题，突出考查解三角形的基本知识和转化与化归思想，考查三角函数的基本关系式和化简变形，考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，是一道具有研究价值的好题.

2 解法探究

2.1 第（1）小题的解法

第（1）问考查三角函数的基本关系式和化简变形，可从多角度入手求解.基本策略是变角、变名、变结构，逐步化简三角关系式，求出sin A.

解：由A+B+C=π，A+B=3C，得

A+B=3π4，C=π4.

根据2sin（A－C）=sin B，得

2sinA－π4=sin3π4－A.

整理得sin A=3cos A.

结合sin 2A+cos2A=1，A∈（0，π），可得

sin A=31010.

评注：如何处理A+B=3C和2sin（A－C）=sin B是难点，灵活运用三角形内角和公式以及两角和（差）的三角公式是解题的关键.

2.2 第（2）小题的解法

对于解三角形中的“三线”问题，通常有“边化角”与“角化边”两个变形方向，根据题设条件与目标进行分析，容易想到三角形高的定义.

解pT4TZMRy9S2ME6ZkLS7OQ+qenCgG2j+FH1eJ2jG6viM=法1：正弦定理+解三角形.

由正弦定理，得BCsin A=ABsin C，则

BC=ABsin C＼5sin A=35.

因为sin A>sin C，所以A>C.

由（1）得sin A=3cos A，则

cos A=1010.

所以sin B=sin（A+C）=255.

由正弦定理，得ACsin B=ABsin C，则

AC=ABsin C＼5sin B=210.

设AB边上的高为h，则h=AC＼5sin A=210×31010=6，所以

AB边上的高为6.

解法2：正弦定理+三角函数.

由tan A=3>0，得π4<A<π2，则cos A=1010.

所以sin B=sin（A+C）=255.

由正弦定理，得ACsin B=ABsin C，则

AC=ABsin C＼5sin B=210.

设AB边上的高为h，则h=AC＼5sin A=210×31010=6，

故AB边上的高为6.

解法3：正弦定理+面积法.

由tan A=3>0，得π4<A<π2，则cos A=1010.

所以sin B=sin（A+C）=255.

由正弦定理，得sin A∶sin B∶sin C=BC∶AC∶AB=31010∶255∶22.

结合AB=5，可得AC=210，BC=35.

设AB边上的高为h，则S△ABC=12AB＼5h=12AC＼5BC＼5sin C=15，解得h=6.

故AB边上的高为6.

评注：根据题设条件与目标进行分析，容易想到高的定义，再联想三角形面积公式，借助算两次的思想和方程思想，将问题化繁为简.

解法4：几何法+等面积法.

由（1）知tan A=3tan C.如图1所示，过点B作BG⊥AC，垂足为G，过点G作GM⊥AB，垂足为M，过点C作CH⊥AB，垂足为H.

设AG=x，则BG=CG=3x，

于是|AB|=10x=5，得x=102.

由S△AGB=12AG＼5BG=12AB＼5GM，可得

GM=35x2=32.

由AC=4AG，可得CH=4GM=6.

解法5：三角恒等变换+几何法.

由（1）知tan A=3，结合A+B+C=π，可得

tan B=－tan（A+C）=－tan A+tan C1－tan Atan C=2.

如图2，过点C作CD⊥AB，垂足为D.设CD=h，则

|AB|=|AD|+|DB|=htan A+htan B=h3+h2=5，

解得h=6.

故AB边上的高为6.

解法6：三角恒等变换法.

由（1）知tan A=3.如图2，过点C作CD⊥AB于点D，设AD=m，则CD=3m.

由正弦定理，得

BCsin A=ABsin C.

所以BC=ABsin C＼5sin A=35.

在Rt△BDC中，

BD2+CD2=BC2，则

（5-m）2+9m2=45.

解得m=2.

故AB边上的高为6.

评注：根据题设条件与目标进行分析，容易想到高的定义，巧妙利用数形结合及方程思想，将问题化繁为简.

3 问题溯源

高考试题是高考复习中必备的课程资源，寻找高考数学试题的生长点、命题背景，探究题源，挖掘命题的"题根"，有利于把握高考命题的风向标，选择或命制相似的题目进行针对性的训练，能够有效提升对解题思想的理解，同时对提高复习效率有很大的意义.问题的条件（在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sin B）是该题最大的亮点.看到这道题，笔者认为该题是2004年高考全国Ⅱ卷数学理科第17题的“翻版”.

溯源1（2004年高考全国Ⅱ卷理科第17题）已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=35，sin（A－B）=15.

（1）求证：tan A=2tan B;

（2）设AB=3，求AB边上的高.

解：（1）（详解略）.

（2）由A+B∈π2，π，sin（A+B）=35，可得cos（A+B）=－45，则tan（A+B）=－34，即tan A+tan B1－tan Atan B=－34.

又tan A=2tan B，解得tan A=2+6，tan B=2+62.

设AB边上的高为h，则htan A+htan B=3，解得h=2+6.

溯源2（2016年新课标Ⅲ卷数学理科第8题）在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A等于（）.

A.31010

B.1010

C.－1010

D.－31010

解：设△ABC中角A，B，C对应的边分别为a，b，c，AD⊥BC于点D，∠DAC=θ.

因为在△ABC中，B=π4，AD=h=13BC=a3，所以

BD=AD=a3，CD=2a3.

在Rt△ADC中，有

cos θ=ADAC=a3a32+2a32=55.

所以sin θ=255.

故cos A=cosπ4+θ=cosπ4cos θ－sinπ4＼5sin θ=22×55－22×255=－1010.故选：C.

通过上面的例子可以看出，在强调命题改革的今天，通过改编、创新等手段来赋予往年高考真题新的生命，已成为高考命题的一种新趋势.因此，在高考复习的过程中务必要注意对往年高考真题进行变式训练，做到探索变式，丰富成果，对解题思路进行内化、深化探索，总结升华;把握其实质、掌握其规律、规范其步骤.

4 拓展变式

对于这道有价值的高考试题，我们不能满足于仅给出其解法，还应该充分挖掘其价值，可以通过适当改变试题的条件或求解目标，对其进行变式，并将有些问题推广到一般情况，这对高考复习备考是很有意义的.

案例典型“三线”问题及其变形

问题在△ABC中，已知AB=5，AC=8，BC=12，D为线段BC上一点.

（1）若D为线段BC的中点，求AD的长;

（2）若AD平分∠BAC，求AD的长;

（3）若AD⊥BC，求AD的长.

评注：从典型问题和基础问题出发，对问题进行变形，可使得研究由浅入深、知识不断得以巩固、核心素养能力得以提升.这种研究问题的形式有助于对知识的学习和巩固.

5 教学启示

对于一道典型的高考真题从多个角度对其剖析，充分挖掘其价值.通常可以思考如下问题：你能用多种方法求解这个问题吗？这个问题的命题意图是什么？改变条件或求解目标，这些方法还适用吗？这个问题能否推广到一般情形？等等.只有真正弄清这个问题的来龙去脉，把握其各种变化，在遇到新问题时我们才能做到灵活处理，随机应变.“磨刀不误欢柴工”，高三复习与其盲目刷题，不如多回归“典型”，在典型的问题和情境中提高数学素养和能力，提高高三复习的效率，这样的复习不失为高效的复习.