一道高考解析几何压轴题的探究

1 题目呈现

（2020全国卷）已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线l：x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

2 题目剖析

第（1）问直接运用题目条件可求出E的方程：

由椭圆方程E：x2a2+y2=1（a>1），可得A（－a，0），B（a，0），G（0，1），则

AG=（a，1），GB=（a，－1）.

所以AG·GB=a2－1=8，得a2=9.

故椭圆E方程为x29+y2=1.

第（2）问，证明直线过定点可用如下方法：

（ⅰ）联立直线与圆锥曲线方程，利用直接法算出直线CD方程，找出定点；也可以先设出直线CD方程，再根据题目条件算出定点.

（ⅱ）圆曲不联立，证明直线过定点.

3 第（2）问的探究

3.1 思维角度1：联立之直接法

如图1，设出点P，写出直线AP和BP方程，分别与椭圆联立求出点C，D，然后写出直线CD，从而计算出直线CD过定点.由于此方法比较常规，证明过程只作简要说明.

简证：设P（6，y0），则AP：y=y09（x+3）.联立直线AP与椭圆的方程，由（－3）·x=9y20－81y20+9，可得

x=－3y20+27y20+9，将其代入直线AP的方程中，可得y=6y0y20+9，所以点C－3y20+27y20+9，6y0y20+9.

同理，可得点D的坐标为3y20－3y20+1，－2y0y20+1.

所以当y20≠3时，可知

CD：y=4y03（3－y20）x－32，

则直线CD过定点32，0.

当y20=3时，直线CD方程为x=32.

综上，直线CD过定点32，0.

3.2 思维角度2：联立之韦达定理法

设出直线CD方程，然后根据题目条件计算出直线CD过定点.此思路消参过程中会出现x1y2和x2y1，直接运用韦达定理消参比较困难，可利用椭圆相关性质转化直线斜率的表达式，最终利用韦达定理消参.

证明：设直线CD的方程为x=my+n，C（x1，y1），D（x2，y2）.联立直线CD和椭圆E的方程，可以得到（9+m2）y2+2mny+n2－9=0，则

y1+y2=－2mn9+m2，y1y2=n2－99+m2.

直线AP方程为y=y1x1+3（x+3），直线BP方程为y=y2x2－3（x－3）.

由椭圆的性质可得kAD·kBP=-b2a2，即y2x2－3=-x2+39y2，则直线BP方程为y=-x2+39y2（x-3）.联立直线AP和直线BP，得y1x1+3（x+3）=x2+3－9y2（x－3）.

由x=6，可得-27y1y2=（3+x1）（3+x2），即

（27+m2）y1y2+m（n+3）（y1+y2）+（n+3）2=0.

整理，得（27+m2）（n2－9）－2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0，解

得n=32.

故直线CD的方程为x=my+32，直线CD过定点32，0.

3.3 思维角度3：圆曲不联立之对偶式法

对于出现x1y2和x2y1不好直接运用韦达定理消参的题型，除思维角度2的方法外，通常还可以利用椭圆方程构造关于x1y2，x2y1的对偶式，通过圆曲不联立消参.

证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），CD过x轴上的点Q（n，0）.

由C，D，Q三点共线，可得y1x1－n=y2x2－n，即

x1y2－x2y1=n（y2－y1）.①

由已知条件易得x1y2+x2y1=x21y22－x22y21x1y2－x2y1=（9－9y21）y22－（9－9y22）y21x1y2－x2y1=9y22－9y21n（y2－y1）=9（y2+y1）n，再结合①可得

x1y2=129n+ny2+129n－ny1，②

x2y1=129n－ny2+129n+ny1.③

设P（6，y0），由A，C，P三点共线和B，D，P三点共线，可得

y1x1+3=y09，y2x2－3=y03，则y2x2－3=3y1x1+3.

整理，得x1y2+3y2=3x2y1－9y1.

将②和③代入，可得129n+ny2+129n－ny1+3y2=329n－ny2+329n+ny1－9y1，化简得

（4n2+6n－18）y2=（4n2－18n+18）y1.

所以4n2+6n－18=0，4n2－18n+18=0，解得n=32.

故直线CD过定点32，0.

其实，利用思维角度3的方法深入研究，可以得到结论：当点P所在直线l的方程为x=m，椭圆E方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）时，直线CD所过定点与直线l恰好是极点与极线的关系.

证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），直线CD交x轴于点Q（n，0），n≠±a.

由C，D，Q三点共线，可得

y1x1－n=y2x2－n，即

x1y2－x2y1=n（y2－y1）.④

又容易得到x1y2+x2y1=x21y22－x22y21x1y2－x2y1=a2－a2b2y21y22－a2－a2b2y22y21x1y2－x2y1=a2y22－a2y21n（y2－y1）=a2（y2+y1）n，再结合④式可得

x1y2=12a2n+ny2+12a2n－ny1，⑤

x2y1=12a2n－ny2+12a2n+ny1.⑥

设P（m，y0），由A，C，P三点共线和B，D，P三点共线，得

y1x1+a=y0m+a，y2x2－a=y0m－a.

所以y2x2－a=m+am－a＼5y1x1+a，即

（m－a）x1y2+a（m－a）y2=（m+a）x2y1－a（m+a）y1.

将⑤⑥代入，整理得［mn2+a（m－a）n－a3］y2=［mn2－a（m+a）n+a3］y1.

所以mn2+a（m－a）n－a3=0，mn2－a（m+a）n+a3=0，即

（mn－a2）（n+a）=0，（mn－a2）（n－a）=0.

解得mn=a2，则m=a2n.

而由椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）可得点Q（n，0）所对应的极线为xQxa2+yQyb2=1，即n·xa2+0·yb2=1，所以x=a2n=m，这正是直线l的方程.

所以，直线CD所过定点与点P所在直线l恰好是极点与极线的关系.

这也说明，这道高考题的第（2）问本质是一个椭圆的极点与极线问题.当x=m给定时，由nm=a2，可得n=a2m，即直线CD恒过定点Qa2m，0.

3.4 思维角度4：圆曲不联立之曲线系法

由A，B，C，D四点中写出曲线系方程和椭圆对比，从而算出定点.

证明：设P（6，y0），直线CD方程为x=my+n.因为直线AC方程为y=y09（x+3），直线BD方程为y=y03（x-3），直线AB方程为y=0，

所以，过A，B，C，D的曲线系可设为（y0x-9y+3y0）＼5

（y0x-3y－3y0）+λy（x－my－n）=0.与椭圆x2+9y2－9=0对比系数，得

－12y0+λ=0，18y0－nλ=0，解得n=32.

故直线CD的方程为x=my+32.

所以直线CD过定点32，0.

思维角度3和思维角度4提供的方法，不仅适用于椭圆，也适用于其他圆锥曲线，尤其在证明有关圆锥曲线的极点极线问题[1-2]上非常有优势.

4 总结

本题主要考查了椭圆性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于偏难题，其中证明直线过定点是难点，本文中给出了四种思路.直接设点求出相关直线，然后与椭圆方程联立，求出所求直线的方程，进而求出定点；另一个方法是设出所求直线，利用韦达定理算出定点.这两种方法属于常规方法，易于掌握.本文中还提供了另外两种方法，一种是利用椭圆方程构造对偶式，通过圆曲不联立消参，巧妙地优化了计算；另一种是灵活运用二次曲线系方程表示含有公共交点的圆锥曲线，可以快速解答四点共圆、定值定点问题，以及有关斜率问题.在平时教学中，教师应多给学生总结一些解题规律，让学生见到更多的解题方法，开阔思路，提升解题能力.

参考文献：

[1]王慧兴.强基计划数学备考系列讲座（15）——圆锥曲线的极点、极线基本理论与应用[J].高中数理化，2023（7）：18-23.

[2]沈海英，王树文.圆锥曲线的极点与极线——2020高考北京卷解析试题背景探究[J].中学生数学，2021（5）：41-42.