抓住本质，从一般到特殊命制试题

摘要：圆锥曲线中有许多二级结论，这些结论是教材知识的进一步延伸，利用它们能快速解答问题，也可以利用它们引入特殊化思想命制试题.本文中以教材推导椭圆标准方程的过程为背景，分析推导过程中一些式子的几何意义，得出结论，利用此结论命制了一个定值、定点问题.

关键词：椭圆；斜率；定点；定值

1 试题呈现

原题（人教A版选择性必修第一册第108页）设A，B两点的坐标分别为（－5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49，求点M的轨迹方程.x225+9y2100=1（x≠±5）

命题已知椭圆C：x24+y23=1的左顶点为A，右焦点为F.

（1）（改编）设过椭圆中心的直线与椭圆的交点为M，N（与A不重合），记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.

（2）（原创）设过右焦点F的直线与椭圆的交点为P，Q（与A不重合），则在椭圆C上是否存在点T，使得TP和TQ的斜率之积为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

2 命题过程

2.1 发现本质

教材（选择性必修第一册第106页）在推导椭圆标准方程中得到（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），即a2y2=（a2－c2）（a2－x2）.当x≠±a时，可以化简为yx－a·yx+a=c2－a2a2，即yx－a·yx+a=－b2a2.这事实上给出了椭圆的一条性质：连接椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的点（长轴的端点除外）与长轴的两个端点的两条直线的斜率之积为定值－b2a2.联系圆上一点与直径两端点的连线所成角为直角，对于上述性质，可以再做推广：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任意一点P与过原点的弦AB的两端点A，B的连线PA，PB（与坐标轴不平行）斜率之积为定值－b2a2.（证明：设点P（x，y），A（x1，y1），则B（－x1，－y1），所以x2a2+y2b2=1，x21a2+y21b2=1，两式相减得y2－y21x2－x21=－b2a2，即kPAkPB=－b2a2，为定值.）

2.2 命制试题

结合上述结论，可以选择椭圆上的一个定点和一条过原点的动直线命制一个定值的证明问题.根据本校学生实际情况，选择左顶点为定点命制了问题（1）.

问题（1）中动直线经过椭圆的中心，若改为经过焦点，此时直线和椭圆的两个交点和椭圆上与它们不重合的任意点的连线斜率之积还是定值吗？计算发现只有左、右顶点满足，据此特征命制了问题（2）.

上述两个问题，围绕斜率之积为定值展开，联系数的运算，可以再命制两直线斜率和、差、商为定值的问题，也可以把曲线变为双曲线、抛物线命制问题.比如，在问题（2）中，可以命制过焦点的直线与椭圆的两交点与左、右顶点连线斜率之比为定值.总之，在圆锥曲线问题中引入直线，与它产生交点，再把交点与其他特殊点相连形成新的直线，从而可以命制与此直线有关的问题（如2023年新课标Ⅱ卷第21题）.

3 试题分析

3.1 考查意图

本题以椭圆为载体，考查圆锥曲线中的定值、定点问题，意在考查学生的逻辑推理能力、化归与转化能力、运算求解能力，特别体会到设点或设线不同会导致不同的运算量，应作出合理选择.考查了逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养.

3.2 试题分析

问题（1）：若把图形变化的动因看成是直线MN绕坐标原点旋转引起的，可考虑设直线MN或AM的方程，与椭圆方程联立，求出点M，N的坐标，进而得出问题所需量解答问题；引起图形变化的动因，也可看成是由点M的运动引起，可设点M的坐标为参数，由于点N与M对称，则可得点N坐标，从而可表示“问题所需”.思维导图如图1所示.

问题（2）：存在性问题，应当先假设存在.图形变化是由直线PQ绕焦点F旋转而引起的，考虑设直线的的横截距方程x=my+1，与椭圆方程联立.本题的难点是对斜率乘积算式的化简和分析，要使得斜率之积为定值，应当与m无关，得出对应方程，给出点的坐标，验证此点在椭圆上.思维导图如图2所示.

4 规范解答

4.1 第（1）问的解答

法一（设线）：设直线MN的方程为x=ty，M（x1，y1），N（x2，y2）.

联立方程组x=ty，3x2+4y2=12，消去x，得

（3t2+4）y2=12.

解得y1=233t2+4，y2=－233t2+4.

所以k1·k2=y1x1+2·y2x2+2=233t2+42t33t2+4+2·－233t2+4－2t33t2+4+2=－1212t2－12t2+16=－34，为定值.

法二（设线）：设直线AM的方程为y=k1（x+2），M（x1，y1），N（x2，y2）.

联立方程组y=k1（x+2），3x2+4y2=12，消去y，得

（3+4k21）x2+16k21x+16k21－12=0.①

因为方程①的一个根为－2，所以－2·x1=16k21－123+3k21，则x1=6－8k213+4k21.

同理，可得x2=6－8k223+4k22.

由点M，N关于原点对称，可以得到6－8k213+4k21=－6－8k223+4k22，整理得（k1k2）2=916.

因为k1k2<0，所以k1k2=－34，为定值.

法三（设点）：设M（x0，y0），又点N与点M关于原点对称，所以N（－x0，－y0）.

所以k1=y0x0+2，k2=－y0－x0+2，则

k1k2=y0x0+2·－y0－x0+2=－y204－x20.

又点M（x0，y0）在椭圆上，所以x204+y203=1，即

y20=34（4－x20）.

故k1k2=－y204－x20=－34（4－x20）4－x20=－34，为定值.

法四（设点）：根据椭圆方程可以设M的坐标为（2cos θ，3sin θ），则N（－2cos θ，－3sin θ）.

所以k1=3sin θ2cos θ+2，k2=－3sin θ－2cos θ+2，故k1k2=3sin θ2cos θ+2·－3sin θ－2cos θ+2=－3sin 2θ4（1－cos 2θ）=－34，为定值.

4.2 第（2）问的解答

法一（设线）：设存在定点T（x0，y0）满足题意，即kPTkQT为定值.

设直线PQ的方程为x=my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

联立方程组x=my+1，3x2+4y2=12，消去x，得

（3m2+4）y2+6my－9=0，

则y1+y2=－6m3m2+4，y1y2=－93m2+4.

结合x1=my1+1，x2=my2+1，得

kPTkQT

=y1－y0x1－x0·y2－y0x1－x0

=y1y2－y0（y1+y2）+y20x1x2－x0（x1+x2）+x20

=y1y2－y0（y1+y2）+y20m2y1y2+m（1－x0）（y1+y2）+x20－2x0+1

=－9+6my0+y20（3m2+4）3m2（x20－4）+4（x0－1）2.

所以，当y0=0且x20－4=0时，此时，点T为椭圆的左、右顶点，kPTkQT为定值.

若T（－2，0），则kPTkQT=－14；若T（2，0），则kPTkQT=－94.

法二（极点极线）：

如图3，设椭圆的右顶点为B，连接AQ，BP.

根据题意，可得kAQkBP=13，kAPkBP=－34，则kAPkAQ=－14.

同理，可得kBPkBQ=－94.

所以，若T（－2，0），则kPTkQT=－14；若T（2，0），则kPTkQT=－94.

5 实测情况

本题满分12分，每小题6分，全班共52人参加测试，用时15分钟，平均得分为4.2分，满分仅有2人.第（1）问大多数学生选择设直线方程解答，少有学生抓住对称性特征通过设点解答问题；第（2）问学生能完成一些运算，但大多数不能坚持下去，还有一部分学生无法分析斜率之积的算式，找出定值需要满足的条件.

6 命题感悟

命题是为选拔人才服务，因此所命试题要符合课程标准要求，体现高中数学的育人价值和学科价值，培养科学精神和创新意识.

命题要精选素材，好的素材是命制好试题的基础.教材和高考真题是选择好素材的重要依据，对于其中的一些典型问题，应抓住其本质特征，发现变化中的不变性，通过特殊化、替换等思想命制试题，同时兼顾素养导向和能力考查.

命题要符合学情.命题要考虑到不同知识对应核心素养的考查内容及水平要求，符合学生的实际认知能力，通过一定的情境，融合相应的数学知识，注重基础性和应用性，兼顾综合性和创新性，难度恰当，尽量做到入口宽、方法多样.