2024年高考题中的高阶思维能力考查

在新教材（人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过）、新课程（《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订》）、新高考的“三新”背景下，高中数学教学与学习必须更多地去关注数学基础知识的发生、经历与发展过程，注重学生数学思维能力的发展，特别是高阶思维能力，从而促进学生的深度学习，为学生的终生学习创造条件、奠定基础.本文中结合2024年高考数学真题的剖析，从高考命题与考查方向等层面切入，剖析数学教学与学习过程中的数学思维的引导、分析、综合、升华，引导数学高阶思维能力的发展，进而依托数学知识与数学技能等的应用，引导学生开展深度学习，并且作一些合理的教学实践与研究，抛砖引玉.

1 依托抽象场景的高阶思维

基于抽象场景创设的高考命题与考查方向，通过选取一些较为抽象的问题，借助恰当数学思维的切入，进行合理分析与巧妙归纳，通过抽象与具体之间的辩证思维加以过渡与总结，实现高阶思维，得以深度学习.

例1（2024年高考数学新高考Ⅱ卷·14）在如图1所示的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1=24种选法.

每种选法可标记为（a，b，c，d），a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果如下：（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），

（12，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，24，33，40），

（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），

（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40）.

所以选中的方格中，（15，21，33，43）的4个数之和最大，最大为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112.

点评：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4，3，2，1个方格可选，基于表格问题，化抽象为具体，有效利用分析、决策、综合等高阶思维方式，通过列举法写出所有的可能结果，为问题的分析与解决创造条件，落实数学抽象和数据分析核心素养，也给此类问题的深度学习打下基础.

2 依托现实场景的高阶思维

基于现实场景创设的高考命题与考查方向，通过选取一些现实应用问题，借助合理数学思维的切入，进行合理分析与巧妙转化，通过现实问题与数学知识之间的密切联系加以过渡与总结，实现高阶思维，得以深度学习.

例2（2024年高考数学新高考Ⅰ卷·9）（多选题）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（x，s2），则（）.

（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z<μ+σ）≈0.841 3.）

A.P（X>2）>0.2

B.P（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0.5

D.P（Y>2）<0.8

解析：由于X～N（1.8，0.12），则有P（X>2）=P（X>μ+2σ）<P（X>μ+σ）≈1－0.841 3=0.158 7，故选项A错误，选项B正确.

又由于Y～N（2.1，0.12），于是可得P（Y>2）=P（Y>μ－σ）=P（Y<μ+σ）≈0.841 3，故选项C正确，选项D错误.

故选择答案：BC.

点评：以现实应用场景来创设与考查正态分布的基本性质与应用.基于正态分布中普通区间与3σ区间之间的过渡与转化，合理转化与化归，在此条件下通过数形结合，利用正态分布的对称性和特殊区间的概率值来分析与求解，有效进行深度学习与应用.

3 交汇场景的高阶思维

基于交汇场景创设的高考命题与考查方向，通过选取一些知识交汇问题，借助合理数学思维的切入，从中合理联结与类比转化，通过交汇知识与单一知识之间的包含与联系加以过渡与总结，实现高阶思维，得以深度学习.

例3（2024年高考数学新高考Ⅰ卷·8）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）>f（x－1）+f（x－2），且当x<3时，f（x）=x，则下列结论中一定正确的是（）.

A.f（10）>100

B.f（20）>1 000

C.f（10）<1 000

D.f（20）<10 000

解析：依题可知，当x<3时，f（x）=x，则有f（1）=1，f（2）=2.

由f（x）>f（x－1）+f（x－2），令x=3，可得

f（3）>f（2）+f（1）=2+1=3=a4；①

令x=4，可得

f（4）>f（3）+f（2）>3+2=5=a5；②

令x=5，可得

f（5）>f（4）+f（3）>5+3=8=a6.③

观察①②③式，及题设条件f（x）>f（x－1）+f（x－2），联想到斐波那契数列{an}的递推公式：an=an-1+an-2（n≥3，n∈N*），且a1=1，a2=1.

那么，不等式①②③右边分别为斐波那契数列{an}的第4，5，6项，可归纳总结出规律：f（x）>ax+1（x≥3，x∈N*）.

列出斐波那契数列{an}的前17项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597.

于是f（20）>f（16）>a17=1 597>1 000.

故选择：B.

点评：根据抽象函数及其相应不等式的前若干项的分析，合理联想到数列的一个重要模型——斐波那契数列{an}，实现知识的交汇与融合，依托斐波那契数列{an}的构建，综合应用函数与不等式知识，也是解决问题的一个重要突破口.依托抽象函数与相应的不等式场景下，合理构建与之相吻合的数学模型，很好地体现了数学建模核心素养，以及函数、不等式等相关知识与数列的联系与综合应用.

4 技巧场景的高阶思维

基于技巧场景创设的高考命题与考查方向，通过选取一些较为复杂、入口较宽、方法较多的问题（如各选项之间联系紧密的多选题），借助合理数学思维的切入，进行合理对比、分析、举例、排除、数形结合等，通过综合问题与特例问题之间的合理转化，用联系与变化的观点看问题，运用一定的解题技巧解决问题，事半功倍，发展批判与创造性高阶思维，推动深度学习.

例4（2024年高考数学新高考Ⅱ卷·6）设函数f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a为常数），当x∈（－1，1）时，曲线y=f（x）与y=g（x）恰有一个交点，则a=（）.

A.－1

B.12

C.1

D.2

解析：依题可令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2ax，整理为ax2+a－1=cos x.

如图2所示，作出函数y=cos x，x∈（－1，1）的图象.

设函数h（x）=ax2+a－1，x∈（－1，1）.

当a=－1时，h（x）max=h（0）=－2，此时函数h（x）的图象与图中的图象没有交点；

当a=12时，h（x）max=h（1）=0，此时函数h（x）的图象与图中的图象没有交点；

当a=1时，h（x）max=h（1）=1，结合对称性，此时函数h（x）的图象与图中的图象有两个交点.

排除选项A，B，C，只能是选项D正确.其实，当a=2时，h（x）min=h（0）=1，此时函数h（x）的图象与图中的图象有一个交点.

故选：D.

点评：根据题设条件构建两函数相等的关系，合理分拆函数，转化为一个熟知的余弦函数与一个含参的二次（或一次）函数，为数形结合直观分析与解决问题创造条件.依托选项中具体数值的信息，分类讨论，也是解决问题中非常不错的一种技巧方法.合理数形结合直观处理，巧妙排除，实现问题的突破.

从根本上说，数学高阶思维是数学学习过程中的一种重要思维，而依托高考命题与考查方向进行教学研究与学习，更加有针对性，这样可以更好地帮助学生全面理解并掌握数学基础知识与数学基本技能等，从而提升数学思维能力，特别是高阶思维能力与关键能力等，并在此基础上提升问题解决能力与创新能力等，进行有效的深度学习.特别在“三新”背景下，全面落实“双减”政策与新课改理念，更加关注学生的主体思维意识，不断更新和发展学生的心智，有效提升学生的高阶思维能力，给深度学习埋下伏笔，也为终生学习创造条件.