数学解题教学中解题过程严谨性及规范性探究

摘要：在高中数学解题的过程中，不仅要确保解题过程正确、清晰、简洁、完整，同时还必须要保证其规范性.规范性的解题，有助于学生建立起解题的思维框架，避免思维混乱和跳跃，能帮助学生培养逻辑思维和推理能力，提高解题的准确性.本文中以不等式证明为例，深入研究解题过程规范性的要求，结合实例分析给出了培养解题过程规范性的方法和技巧，最后对解题教学提出了一些启示和建议.

关键词：高中数学；规范性；不等式证明

数学是一门注重理论性的学科，具有很强的严谨性.学生在高考中能否拿到满分，不仅和学生自身掌握的知识有关，还和解题书写过程，解题是否规范有很大的关联.在高考数学的评分标准中，已经对解题的规范性做出了明确的要求[1].解题的规范性对于高考数学成绩的提升至关重要.学生需要在解题过程中注重严谨性和规范性，确保每一步的推导都清晰准确.通过高中数学解题教学中对解题过程规范性的探究，可以帮助学生提高解题质量，为他们在高考中取得好成绩奠定基础.

1 解题过程实例分析

结合学生对一道不等式的证明过程，探究高中数学解题教学中解题过程的规范性.

例若a3+b3=2，求证a+b≤2.

同学甲的证明过程如下：

证明：假设a+b>2，则

a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）>2（a2－ab+b2）.①

而a3+b3=2，故a2－ab+b2<1.

所以1+ab>a2+b2≥2ab.

于是ab<1.

所以a2+b2<1+ab<2.

所以（a+b）2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.

∴a+b<2.②

这与假设矛盾，故a+b小于等于2.③

分析：本解法的失分点有如下四个方面.

（1）①式不严谨，漏掉了条件“因为a2－ab+b2>0，”应该加上；

（2）②式中将数学中表示逻辑关系的语言文字因为、所以和数学中的符号语言∵∴混用；

（3）②式的表达不严谨，应该是“－2<a+b<2”；

（4）③处的结论表达不规范，没有使用特定的符号，即数学符号应用不规范，应该是“故a+b≤2”.

反思：数学题的解题过程需要使用特定的数学语言进行书写和表达，包括符号语言、图形语言和图像语言[2].这些语言是数学学科的重要组成部分，能够帮助学生准确地传达他们的思想和推理过程.通过使用准确的数学符号和术语，学生可以避免语义模糊或误解，确保解题过程的准确性和清晰性.

同学乙的证明过程如下：

证明：假设a+b>2，则a>2－b，所以

2=a3+b3>（2－a）3+b3.④

所以2>8－12b+6b2，即

（b－1）2<0.

这不可能，从而a+b＞2.⑤

分析：本解法的失分点有如下两个方面.

（1）④式有误，在（2－a）3中，误将b表达成a，估计是粗心造成的，应该是（2－b）3.

（2）⑤式错误且不严谨，“大于”符号应该是“小于等于”符号≤，即应为“从而a+b≤2”.估计是学生粗心导致的.

反思：在高中数学的不等式证明中，通常会涉及到多个字母，这使得证明过程变得更加复杂.因此，学生在证明不等式时，需要格外细致.应该反复检查每个推理步骤，确保没有遗漏任何细节或者出现细节上的错误.需要仔细审查每个步骤中的运算符号、字母以及代数运算的正确性.任何一个细节上的错误都可能导致整个证明的错误.同时，还需要对推导的结论进行验证，即使一个证明过程看起来很完整、很正确，但如果结论不正确，那么整个证明也是无效的.在不等式证明中，只需要将自己的结论和题目中的结论进行对比，就可以知道结论正确与否.

同学丙的证明过程如下：

证明：假设a+b>2，则有3ab（a+b）>6，所以ab（a+b）>2.

又a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）=2，可得

ab（a+b）>（a+b）（a2－ab+b2）.

所以a2－ab+b2<ab，即（a－b）2<0.

分析：本解法的失分原因在于学生丙的证明跳过了一些关键步骤，没有书写出3ab（a+b）>6的推导过程，导致步骤和步骤之间的依据和逻辑关系不够清晰.同时，证明过程不够完整.只推理到（a－b）2<0，是一个不完整的证明过程.

上述例题正确的规范解法如下：

证明：假设a+b>2，则（a+b）3>8，即

a3+b3+3ab（a+b）>8.

由a3+b3=2，得3ab（a+b）>6，即ab（a+b）>2.

又a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）=2，

所以

ab（a+b）>（a+b）（a2－ab+b2）.

所以a2－ab+b2<ab，即（a－b）2<0.

这不可能，从而a+b≤2.

反思：在证明过程中，学生一定要注意证明过程的逻辑性和完整性，切勿出现遗漏步骤的情况.应详细展示每个步骤和推理，包括中间结果和推导过程.这样可以让读者或评卷人清楚地理解解题思路和推理过程.此外，通过展示中间结果和推导过程，学生还可以自我检查解题的正确性和逻辑性，及时发现和纠正错误.因此，详细展示每个步骤和推理是解题过程中必不可少的一步，有助于提高学生解题质量和数学表达能力.

2 培养学生规范性解题的对策

2.1 重视教师解题的严谨性与规范性

在教学过程中，教师可以通过展示规范的解题过程，发挥自身的引导作用，帮助学生形成良好的书写习惯.在解题过程中，教师要注意解题内容的条理性、逻辑性和系统性，不放过任何的解题步骤.尤其在进行例题讲解时，要从“解”字开始，一步一步地书写，给学生良好的示范，这才是例题的功能.如果在讲解例题时，教师只通过多媒体进行演示或者随意板书，学生就只能“知其意而不知其形”，认为书写过程不重要，只有内容是重要的.在书写时，要注意格式和数学符号的正确应用.需要作图时，尽量使用作图工具，规范作图，并详细讲解步骤.如使用多媒体教学而不进行板书时，应利用画笔工具，对每个解题步骤进行标注.教师的板书是学生书写的重要参考之一，教师规范性的板书能够培养学生良好的学习习惯，帮助学生正确书写解题步骤.

2.2 重视学生平时训练的严谨性和规范性

在平时的教学过程中，教师要注意强调学生平时训练的严谨性与规范性，在日常练习中不断培养学生的严谨性和规范性.对于一些典型的题目，教师可以让学生在黑板上完成解题过程.这种学生板演的方式可以帮助教师了解学生对知识点的掌握情况，同时也能够发现学生的共性问题.通过发现这些共性问题，教师可以有针对性地进行讲解，促使学生的解题过程具有条理性、逻辑性和系统性，确保学生不会遗漏任何步骤.在学生板演过程中，教师可以巡视其他同学的解题过程，发现他们可能存在的问题，并及时点拨.学生板演和教师巡视点拨的过程是互动的，通过学生的演示和教师的指导，可以促进学生之间的合作和交流.学生也可以通过观察其他同学的解题过程，了解不同的解题思路和方法，从中获得启发和借鉴.此外，在平时的作业中，教师需要不断强调作业的严谨性和规范性，改正学生对作业的“随意”态度.教师应按照考试要求，对平时的作业作出要求：批改作业时，应按照标准步骤进行评价.只有在日常中融入严谨性与规范性观念，学生才能够更好地理解并掌握解题的规范步骤，才会逐渐明白，解题不仅仅是写出答案，更重要的是要按照一定的步骤和要求进行书写.

2.3 重视对严谨性和规范性的评价反馈

在教学过程中，教师要对学生作业中或者试卷中出现的规范性问题及时给予反馈.如果学生在解题过程中出现错误，但没有及时得到指导和纠正，错误可能会一直延续下去.教师的反馈应该包括对解题过程严谨性与规范性的评价和指导.评价要客观公正，准确指出学生在解题过程中存在的问题；指导要具体明确，给出具体改进的建议和方法.通过及时的反馈，教师可以帮助学生纠正书写错误，提高解题过程的严谨性和规范性.学生在得到反馈后，可以对自己的解题过程进行反思和改进，从而不断提高解题的准确性和效率.同时，及时的反馈也能够增强学生的学习动力和自信心，激发他们对学习的兴趣和热情.

参考文献：

[1]李慧.如何培养高中数学解题的规范性[J].数理化解题研究，2021（18）：14-15.

[2]孟令辉.高中生数学解题规范性错误研究[J].考试周刊，2017（14）：56.