巧借特殊思维，妙破解析几何

一般思维与特殊思维是辩证思维模式中的两种方式，二者之间又是辩证统一的.在解决一些客观题时，特别是有确定答案的选择题或填空题时，借助场景应用，合理选用特殊思维，使得一般性问题特殊化，从中寻找分析与研究问题的一般性规律，给问题的突破与求解开拓一个全新的局面.

在处理平面解析几何问题时，借助直线、圆、圆锥曲线等相关曲线的内涵与实质，优化其“数”的基本属性与“形”的结构特征，以特殊思维巧妙切入，借助特殊元素、特殊关系、特殊位置或特殊性质等特殊形式来应用，有时可以简单快捷处理一些相关的平面解析几何问题.

1 特殊元素

在平面解析几何中，通过特殊元素的合理应用，如特殊点、特殊线段、特殊角等的确定，化一般为特殊，化“动”为“静”，优化结构与过程，以特殊情况下所确定的结论来回归一般性问题.

例1〔2024年江西省赣州市高三（上）期末考试数学试卷〕已知A（x1，y1），B（x2，y2）是圆O：x2+y2=2上两个不同点.若x1x2+y1y2=－1，则x1+x2+y1+y2的取值范围是（）.

A.－22，22

B.[－1，1]

C.[－2，2]

D.[－2，2]

分析：根据题设条件，通过点与圆的位置关系，结合相应关系式的结构特征，联想并构建对应的平面向量的数量积，确定两向量之间的夹角，而借助特殊思维，通过特殊点的选取，利用代数式的取值情况进行巧妙排除，处理起来更加简单快捷.

解析：依题，可得OA·OB=x1x2+y1y2=－1，又|OA|=|OB|=2，

结合cos〈OA，OB〉=OA＼5OB|OA||OB|=－12，0≤〈OA，OB〉≤π，可得〈OA，OB〉=2π3.

选取特殊点A（2，0），此时可取点B，其坐标为2cos 2π3，2sin 2π3，即－22，62.

所以x1+x2+y1+y2=2－22+62=2+62>2.结合各选项中的数据信息，由此可以排除选项A，B，C，故选择答案：D.

2 特殊关系

在求解平几问题时，借助问题场景的变化情况，通过特殊关系的建立，如点的重合、线段长度相等的确定，优化问题中相关要素之间的关系，使得问题更加清晰明了，给问题的解决提供明朗的方向，进而以特殊关系所确定的结论来解决一般性问题.

例2〔2024年广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）（广东一模）数学试卷〕已知直线l与椭圆C：x23+y22=1在第一象限交于P，Q两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且满足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，则l的斜率为.

分析：根据直线与椭圆的位置关系，以及其中动点、动直线的变化情况，利用特殊关系的构建，或利用线段长度相等，或利用点的重合等，以特殊思维形式来确定对应问题成立时的条件，进而简单直接处理与求解.

解法1：（特殊法1）

根据题设条件|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，借助特殊关系取|QN|=|PM|.

设线段PQ的中点为H，则H也是线段MN的中点.

设直线PQ的方程为y=kx+m，可得点H的坐标为－m2k，m2，则有kOH=m2－m2k=－k.

由椭圆的中点弦定理可得，k·kOH=－b2a2=－23，即－k2=－23，解得k=－63（正值舍去）.

所以l的斜率为－63.故填答案：－63.

解法2：（特殊法2）借助极限思维可知，点P，Q无限接近时，假设此时P，Q两点重合.

结合题设条件|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，可知P（或Q）是线段MN的中点.

设直线MN的方程为xm+yn=1（m>0，n>0），可得P（或Q）的坐标为m2，n2.

由椭圆的中点弦定理，可得kMN·kOP=－b2a2=－23，即n2m2=23，解得nm=63（负值舍去）.

所以l的斜率为－nm=－63.

解法3：（特殊法3）设椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，借助极限思维可知点M，P（或Q）→A，点N，Q（或P）→B，满足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，

此时kPQ=kAB=－23=－63.

3 特殊位置

有些解析几何题，通过特殊位置的合理确定，如直线的平行或垂直、直线与圆或圆锥曲线相切等，联系起相应的直线与圆、直线与圆锥曲线的位置，基于其中更加明了清晰的位置来实现问题的突破与求解，从而直观形象地分析与解决问题.

例3（2024年湖北省高中毕业生4月模拟测试数学试卷）抛物线Г：x2=2y上有四点A，B，C，D，直线AC，BD交于点P，且PC=λPA，PD=λPB（0<λ<1）.过A，B分别作Г的切线交于点Q，若S△ABPS△ABQ=23，则λ=（）.

A.32

B.23

C.33

D.13

分析：题设条件中的点、线众多，关系比较复杂，而借助特殊思维方法，通过两平行弦与x轴平行这种特殊位置的选取，借助图形的对称性，给问题的突破与求解提供更加简捷的应用场景.

解析：依题，由于PC=λPA，PD=λPB，可知AB∥CD.

又由选项可知λ为定值，因此可用特殊思维方法，考虑两平行弦与x轴平行这种特殊位置情形，其中AB，CD与y轴的交点分别为M，N.

如图1所示，设Aa，a22，P（0，t），由PC=λPA可得|NC|=λ|MA|，即xC=λa，则有yC=12x2C=12λ2a2.

由PC=λPA，得|PN|=λ|PM|，即12λ2a2－t=λa22－t，解得t=－12λa2.

而由y=x22求导可得y′=x，利用导数的几何意义，可知点Aa，a22处的切线AQ的方程为y－a22=a（x－a），令x=0，解得y=－a22，则Q0，－a22.

所以S△ABPS△ABQ=|PM||QM|=a22+12λa2a22+a22=1+λ2=23，解得λ=13.故选择答案：D.

4 特殊性质

有些解析几何题，通过特殊性质，如曲线或图形的对称性、平行关系或垂直关系等，抓住相应的一些基本特殊性质直接切入，经常可以给问题的解决“撕开”一道突破口.

例4〔2024届广东省高三（下）学期开学数学试卷〕过原点的直线l：y=kx与圆x2－6x+y2－6y+16=0交于A，B两点，且|OA|=|AB|，则k=qjtB1EgpVLuRj47GBm0S1tSdeo060+xVpga1fhA8HTw=（）.

A.1

B.2

C.12

D.2

分析：根据题设条件，抓住直线与圆的位置关系及对称思维，从特殊性质层面逆向思维切入，并结合单选题的特征，实现问题的巧妙突破，解答起来更加简单快捷，甚至达到“称杀”的效果.

解析：由圆x2－6x+y2－6y+16=0配方可得（x－3）2+（y－3）2=2，则圆心C（3，3），半径r=2.

借助直线与圆的位置关系的特殊性质，若直线l：y=kx不过圆心C，根据直线与圆的位置关系的对称性，可知这样的直线有两条，与条件中的单项选择题不吻合，则只能是直线l：y=kx过圆的圆心C，所以k=kOC=1.故选择答案：A.

依托平面解析几何中一些不确定的量与场景，合理应用特殊思维，巧妙借助特殊元素、特殊关系、特殊位置或特殊性质等特殊形式来转化，可以使得问题中的一些变化的量以一种特殊的形式出现，实现客观性问题的突破与解决.特殊思维应用的本质就是“一般”中寻找“特殊”，“特殊”中呈现“一般”，减化推理论证步骤，优化解题过程，减少数学运算，提升解题效益.