二次函数的图象性质与零点分布

摘要：涉及二次函数的图象性质与对应的零点分布问题，是二次函数、二次方程与二次不等式问题中最为常见的一类基本问题.结合二次函数的图象性质与零点分布情况，通过不同类型就对应实例的剖析，挖掘问题的内涵与实质，归纳解题技巧与策略，有效指导数学教学与学习.

关键词：二次函数；方程；不等式；图象；性质

二次函数的零点分布问题，往往可以转化为一元二次方程的根的分布问题，利用二次函数的图象与x轴的交点情况来直观分析与研究.一般从二次函数所对应的抛物线的开口方向、对称轴位置、判别式Δ的符号以及端点处函数值的符号等方面加以分析与考虑，数形结合，直观分析，实现问题的突破与解决.

1 “x1≤x2<k”型

例1若函数f（x）=x2+（m－2）x+（5－m）有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围为.

分析：根据题设条件，结合二次函数对应的一元二次方程的判别式正负情况、对称轴的取值范围以及对应函数值的正负等构建不等式组，通过不等式组的求解来确定参数的取值范围问题，实现问题的突破与解决.

解析：依题，如图1所示，可得Δ=（m－2）2－4（5－m）>0，－m－22<2，f（2）=m+5>0.

解得m>4，即实数m的取值范围为（4，+∞）.

故填答案：（4，+∞）.

点评：从二次函数的“数”的基本属性巧妙转化为对应图象的“形”的基本特征问题，由“数”转“形”，再由“形”转“数”，合理构建对应的不等式（组），结合不等式（组）的求解来达到目的.这里要注意的是，由“形”转“数”构建不等式（组）时，要全面考虑，恒等转化.

2 “k<x1≤x2”型

例2若函数f（x）=x2－2ax+4的两个零点都大于1，则实数a的取值范围为.

分析：根据题设条件，由二次函数的两个零点都大于1确定对应的二次函数的图象特征，由此构建对应的不等式（组），抓住二次函数对应的一元二次方程的判别式正负情况、对称轴的取值范围以及对应函数值的正负取值等情况来分析与处理.

解析：依题，如图2所示，可得Δ=（2a）2－16≥0，－－2a2>1，f（1）=5－2a>0.

解得2≤a<52，即实数a的取值范围为2，52.

故填答案：2，52.

点评：正确构建二次函数图象的结构特征，由此通过“数”转“形”，又由“形”抽象“数”，合理构建相应的的不等式（组），恒等变形与转化相应的二次函数、一元二次方程等相关问题，实现参数取值的求解与应用.

3 “x1<k<x2”型

例3已知二次函数y=（m+2）x2－（2m+4）x+（3m+3）有两个零点，一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为.

分析：根据题设条件，结合二次函数的二次项系数的正负取值情况加以分类讨论，并利用对应函数值的正负取值来构建对应的不等式组.合理分类讨论，分析与解决对应参数的取值问题.

解析：如图3所示，可分为以下两种情况.

第一种情况，有m+2>0，f（1）<0，解得－2<m<－12；

第二种情况，有m+2<0，f（1）>0，此不等式组无解.

综上分析，可实数m的取值范围为－2，－12.

故填答案：－2，－12.

点评：在解决含参的二次函数及其相关综合问题时，要考虑二次项系数的正负取值情况，对应二次函数图象的开口方向，以不同形式来确定二次函数图象的结构特征，合理构建对应的不等式（组），实现问题的解决与突破.

4 “x1，x2∈（k1，k2）”型

例4方程8x2－（m－1）x+m－7=0两实根都在区间（1，3）内，则实数m的取值范围为.

分析：根据题设条件，由二次方程的根转化为对应的二次函数的零点问题，综合二次函数的开口方向、相应的判别式的正负、对称轴的取值范围以及区间端点函数值的取值情况等，

合理构建相应的不等式（组）来实现参数的分析与求解.

解析：设函数f（x）=8x2－（m－1）x+m－7，如图4所示，

可得Δ≥0，f（1）>0，f（3）>0，1<m－116<3，即m≤9或m≥25，m∈R，m<34，17<m<49，解得25≤m＜34.

所以实数m的取值范围为[25，34）.

故填答案：[25，34）.

点评：由一元二次方程根的分布情况对应二次函数图象的结构特征，又由相应“形”的特征来构建“数”的基本属性，合理构建相应的不等式（组），实现二者之间的等价转化与合理过渡，“数”与“形”联系，“数”与“形”结合.

5 “x1∈（k1，k2）和x2∈（k3，k4）”型

例5已知关于x的方程4x2－2（m+1）x+m=0，若该方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为.

分析：根据题设条件，由二次方程的根转化为对应的二次函数的零点问题，通过零点的位置情况，合理构建相应的不等式（组），实现“数”与“形”之间的合理转化与巧妙应用.

解析：设函数f（x）=4x2－2（m+1）x+m，如图5所示，

可得

f（0）=m>0，f（1）=4－2（m+1）+m<0，f（2）=4×22－2×2（m+1）+m>0.

解得2＜m＜4，则实数m的取值范围为（2，4）.

故填答案：（2，4）.

点评：借助二次方程的根与对应二次函数的零点之间的等价转化，通过函数图象，巧妙实现“数”与“形”之间的转化，恒等变形与应用.

6 “x1<k1且x2>k2”型

例6方程x2－（m－1）x+m－7=0两根x1，x2满足x1<－1，x2>2，则实数m的取值范围为.

分析：根据题设条件，由二次方程的根转化为对应的二次函数的零点问题，数形结合构建涉及对应函数值的正负取值的不等式组，通过不等式组的求解来确定对应参数的取值范围，得以转化与解决问题.

解析：设函数f（x）=x2－（m－1）x+m－7，如图6所示，

可得f（－1）<0，f（2）<0，即

（－1）2－（m－1）×（－1）+m－7<0，22－2（m－1）+m－7<0.

解得－1＜m＜72，则实数m的取值范围为－1，72.

故填答案：－1，72.

点评：借助二次方程的根的取值情况，巧妙转化为对应二次函数的零点问题，构建对应的二次函数及其相应的图象，数形结合加以分析，合理构建对应的不等式组，实现“形”与“数”之间的过渡，“数”“形”结合，合理转化，巧妙应用.

在解决一些相关的二次方程的根或二次函数的零点问题时，巧妙通过二次函数的图象与性质，利用二次函数的零点的分布特征，“数”“形”结合，以“形”的结构特征来转化为对应的“数”的基本属性，合理构建对应的不等式（组），从而实现问题的转化与求解.