揭示知识本质 提升核心素养

解三角形问题中的“爪”型结构，成为了最近几年高考命题的新宠.所谓“爪”型结构，即在给定的三角形内，通过连接某一顶点与对边上任意一点，构建出一种形似爪子的几何形态，该问题往往聚焦于三角形的三大核心元素——中线、高线及角平分线来检验学生的数学综合能力.这类问题不仅要求学生具备扎实的数学运算功底，还需具备逻辑思维能力、转化与化归思想，以及函数与方程思想等数学素养.

1 解三角形中有关中线问题

在解决与三角形中线相关的问题时，有时需灵活运用多种策略以攻克难点.首先，正弦定理、余弦定理作为构建方程的经典工具，无疑是解决此类问题的首选.通过巧妙运用这些定理，可以将三角形的边长与角度关系转化为可解的代数方程，进而求得答案；其次，向量法为解题提供了有力的支持，通过向量的线性运算、数量积等性质，建立起与三角形中线相关的向量方程，这些方程往往能够直观反映三角形的几何特征，从而简化解题过程.在解题过程中，我们应根据题目的具体特点选择合适的解题方法.同时，注重培养自己的数学直觉与逻辑推理能力也是至关重要的，这将有助于我们在面对复杂问题时能够迅速找到突破口并顺利解决.

例1已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcos C+ccos B=2acos A.

（1）求角A；

（2）若△ABC中BC边上中线AD的长度为3，求△ABC面积的最大值.

解析：（1）由题意知bcos C+ccos B=2acos A，由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin A＼5cos A，所以sin（B+C）=2sin Acos A.而A+B+C=π，则B+C=π－A，所以sin（B+C）=sin（π－A）=sin A=2sin Acos A.又A是△ABC的内角，sin A≠0，

所以cos A=12.故A=π3.

（2）由AD是△ABC中BC边上的中线，得AD=12AB+12AC，即2AD=AB+AC，有|2AD|2=|AB+AC|2，

则|2AD|2=|AB|2+2|AB||AC|＼5cos A+|AC|2，所以36=b2+c2+bc≥3bc，解得bc≤12，当且仅当b=c时，等号成立.故S△ABC=12bcsin A=34bc≤33，即△ABC面积的最大值为33.

点评：本题解三角形中线问题是结合向量的运算、基本不等式进行解答，由此可以发现向量法在平面几何中的重要位置.向量作为一种重要的解题工具，在解三角形问题中显得尤为重要，解答本题要熟练掌握正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题，结合基本不等式求得面积的最大值.

2 解三角形中有关角平分线问题

解三角形有关的角平分线问题，可以从几个关键方面来入手探讨：（1）三角形的角平分线性质转化为向量或三角函数的形式，从而利用这些数学工具来建立方程或不等式；（2）利用三角形的面积公式和等面积性质，将角平分线问题转化为关于边长的问题；（3）通过向量的线性运算（如加法、减法）和数量积运算，表示出三角形中的各种几何量（如边长、角度）之间的关系，并据此建立方程；（4）三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，这一性质为我们提供了解决角平分线问题的另一个视角；（5）利用三角形的对称性来简化问题.例如，在等腰三角形或等边三角形中，角平分线具有特殊的对称性质，这些性质可以帮助我们更快地找到问题的解决方案.

例2法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点.”如图1，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，33bsin A+acos B=c，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.

（1）求角A；

（2）若△DEF的面积为934，求△ABC的角平分线AM的取值范围.

解析：（1）在△ABC中，由33bsin A+acos B=c及正弦定理得33sin Bsin A+sin Acos B=sin C.

又sin C=sin（A+B）=sin Acos B+cos A＼5sin B，则33sin Bsin A=cos Asin B.而

sin B>0，于是tan A=3.又0<A<π，所以A=π3.

（2）由正三角形DEF的面积为934，得DF=3.

由D，F分别为相应正三角形的中心，可知△ABD和△ACF均为顶角为120°的等腰三角形，则AD=33AB=33c，AF=33AC=33b.在△ADF中，由余弦定理知9=13b2+13c2-2＼533b＼533c＼5cos 120°，即

b2+c2+bc=27，亦即（b+c）2－bc=27.

由S△ABC=12bcsinπ3=12c·AMsinπ6+12b·AMsinπ6，得AM=3bcb+c，

于是AM=3［（b+c）2－27］b+c=3b+c－27b+c.又（b+c）2=bc+27>27，则b+c>33；

而（b+c）2=bc+27≤b+c22+27，则3（b+c）24≤27，解得0＜b+c≤6.因此33<b+c≤6.

令函数f（x）=x－27x（33<x≤6），

则函数f（x）在（33，6］上单调递增，从而0=f（33）<f（x）≤f（6）=32，所以0<AM≤332.

点评：求解三角形角平分线问题，通常就是利用正弦定理进行边角之间的互化，同时注意利用和角的正弦公式、数量积计算，以及利用余弦定理和三角形面积公式，将目标式转化为关于某个角的函数，利用函数思想，借助函数单调性求出范围.

3 解三角形中有关高线问题

在解三角形高线相关的问题时，可以从几个关键方面采取多种策略来简化解题过程.（1）等利用三角形的等面积性质，将高线问题转化为边长问题；（2）利用射影定理列出等式或不等式，从而直接求解或缩小求解范围；（3）当三角形为直角三角形时，高线的求解往往变得更为直接.在日常学习中应该注意总结与三角形高线相关的常见结论，这些结论在解题过程中往往能够发挥重要作用，帮助我们快速找到解题方向或简化计算过程.

例3在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2Ssin Csin B+sin Asin C=（a2+b2）sin A.

（1）求C的值；

（2）若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求△ABC面积的取值范围.

解析：（1）由2Ssin Csin B+sin Asin C=（a2+b2）sin A，结合正弦定理及三角形面积公式，可得bcsin A＼5cb+ac=（a2+b2）sin A，又sin A>0，则c2+ab=a2+b2.

由余弦定理得cos C=a2+b2－c22ab=ab2ab=12，而C∈（0，π），所以C=π3.

（2）由S△ABC=12ch=12absin C，得csin C=ab2.

由正弦定理，可知asin A=bsin B=csin C=ab2，则可得b=2sin A，a=2sin B，

所以S△ABC=12absin C=12×2sin B×2sin A×32=3sin Asin2π3－A=3sin A32cos A+12sin A=432sin2A－π6+1.

由△ABC为锐角三角形，可得0<A<π2，0<2π3－A<π2，解得π6<A<π2，

则有π6<2A－π6<5π6，于是12<sin2A－π6≤1，所以433≤S△ABC<23.

点评：解三角形中有关高线的问题时，除了掌握三角形高线的性质问题外，还需要将题目已知条件与待求式建立联系，在此基础上结合三角形面积公式、正弦定理、三角恒等变换、正弦或余弦函数的值域、基本不等式等，将问题进行适当的转化来求解.

在高三备考阶段，三角形中的“爪”型结构问题作为中档题型的代表，其重要性不言而喻.针对这类问题，教师应采取多维度、多视角的教学策略，以促进学生思维的深度与广度发展，进而提升学生的数学核心素养.通过深入探讨重点题型、多视角总结方法与解题规律，以及构建完整的知识体系等措施的实施，可以有效地促进学生的学习与发展.