全概率与贝叶斯公式解题策略探究

1 全概率公式

全概率公式主要是解决对某一个过程中已知条件求出最后结果的概率方法，在学习的过程中，可以结合古典概型来理解和运用全概率公式求解概率问题.该公式主要解决的问题：当某个事件的概率直接计算比较费劲的时候，可以用与该事件有联系的n个两两互斥的事件将该事件进行分割，然后根据加法公式和乘法公式求出该事件的概率，这种解决问题的思想可以将事件化难为易，利用简单事件的运算表示复杂事件，再根据概率公式求解概率.

例1“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.

（1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B，C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率.

（2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下操作方法：忽略前面的k（1≤k<n）条灯谜，从第k+1条灯谜作为起始点，只要自己感觉合适的就摘取该条，否则就摘最后一条，设k=tn，记小明取到的最适合的那条灯谜的概率为P.

①试求当n=4，k=2时的概率P；

②利用极限思想，当n趋向于无穷大时，求P的最大值及此时t值.取1k+1k+1+…+1n－1=lnnk

解析：（1）根据已知条件，因为8张完全相同的卡片，3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，由规则可知，该顾客取到写有B卡片的概率为P=38+38×37+38×27×36+38×27×16×35=35.

（2）①根据题意，这4条灯谜顺序为从第1条到第4条所有的排列方法共A44=24种.要取最符合自己要求的灯谜，有两种情况.最适合的为第3条，其余的随意排列有A33=6种；最符合自己要求的灯谜是最后1条，其次符合的灯谜是第1或第2条，其他的随机排列有2A22=4种.故所求概率为P=6+424=512.

②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件Bj表示最适合的灯谜在灯谜中排在第j条，

因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，所以P（Bj）=1n，以给定所在位置的序号作为条件，有P（A）=∑nj=1P（A|Bj）P（Bj）=1n∑nj=1P（A|Bj）.

当1≤j≤k时，最适合的灯谜在前k条灯谜之中，不会被摘到，此时P（A|Bj）=0;

当k+1≤j≤n时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前j－1条灯谜中的最适合的一条在前k条灯谜中时，

此时P（A|Bj）=kj－1.由全概率公式知，P（A）=1n∑nj=k+1kj－1=kn∑n－1j=k1j=knlnnk.

令g（x）=xnlnnx（x>0），则g′（x）=1nlnnx－1n.

令g′（x）=0，则x=ne.当x∈0，ne时，g′（x）>0；当x∈ne，n时，g′（x）<0.所以g（x）在0，ne上单调递增，在ne，n上单调递减.所以g（x）max=gne=1e.

所以当k=ne时，P（A）=knlnnk取得最大值，最大值为1e，此时t=1e.

故P的最大值为1e，此时t的值为1e.

点评：本题考查的是全概率公式，是将一个复杂事件的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.其中第（1）问可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行简单的运算求解即可.对于第（2）问的第①小问，由题意可知，要摘到最适合他的灯谜，有两种情况，最适合他的灯谜是第3条和最适合他的灯谜是最后1条，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；对于第②问，记事件A表示最适合的灯谜被摘到，根据条件概率和全概率公式求出P（A），再用导数求出最值即可.

2 贝叶斯公式

随着现代科学技术和信息的高速发展，贝叶斯公式已经广泛应用于生活、生产、航天等领域，主要用来对于诱发某种结果的最可能的原因进行概率推理.在使用贝叶斯公式解决问题前，首先要根据加法公式将一个比较复杂的事件的概率转化为多个简单事件的概率之和的形式，然后再利用乘法公式得出在已知事件作为结果已经发生的情况下，其中某个原因发生的条件概率，这是一种“执果索因”的解决问题的策略.

例2为了增强学生的综合素质，学校致力于为学生创造多样化的成长平台，鼓励他们投身于丰富多彩的社团活动之中.在校园内活跃的辩论队活动中，甲同学的表现尤为突出，他热情洋溢地投身于每一场辩论.

为了更好地掌握每位辩论队员的参与度和能力表现，学校对辩论队的成员进行了细致的跟踪记录.据社团老师的统计，自甲加入辩论队以来，他已经累计参与了整整100场辩论赛事.在这些比赛中，甲同学的角色多变，他作为一辩出场了20次，期间队伍赢得了14场胜利；作为二辩，他出场30次，助力队伍取得了21场胜利；作为三辩和四辩，他分别出场25次，均帮助队伍赢得了20场胜利.

基于以上数据，我们可以尝试用频率来估算概率：

（1）当甲同学参加比赛时，求该辩论队获胜的可能性有多大？

（2）若学校组织了一场由6支辩论队参与的单循环比赛，即每两支队伍之间都会有一场比赛.比赛规则规定，至少赢得3场比赛的队伍才能晋级.社团老师决定在每场比赛中都让甲同学上场.已知甲所在的辩论队成功晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.

解析：（1）根据题意可设A1=“甲担任一辩”，A2=“甲担任二辩”，A3=“甲担任三辩”，A4=“甲担任四辩”，B=“某场比赛中该辩论队获胜”，则P（A1）=20100=0.2，P（A2）=30100=0.3，

P（A3）=25100=0.25，

P（A4）=25100=0.25，

P（B|A1）=1420=0.7，

P（B|A2）=2130=0.7，

P（B|A3）=2025=0.8，

P（B|A4）=2025=0.8.

由全概率公式可得P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）＼5P（B|A4）=0.75.

所以甲参加比赛时，该辩论队某场比赛获胜的概率是0.75.

（2）设Ci=“5场中有i场获胜”（i=3，4，5），D=“甲所在辩论队顺利晋级”，则有

P（C3D）=C35343142=2701 024，

P（C4D）=C45344141=4051 024，

P（C5D）=C55345=2431 024.

所以P（D）=9181 024，

P（X=3）=P（C3|D）=P（C3D）P（D）=270918=517，P（X=4）=P（C4|D）=P（C4D）P（D）=405918=1534，

P（X=5）=P（C5|D）=P（C5D）P（D）=243918=934.

所以X的分布列如表1所示.

点评：本题考查条件概率与全概率公式应用，以及贝叶斯公式求解离散型随机变量的分布列和期望问题.其中第（1）问分甲担任某种辩手的情况，依据条件概率与全概率公式计算即可；

第（2）问需要首先计算甲所在辩论对晋级的概率，然后再利用贝叶斯公式计算出获胜场数X的分布列和期望.考查学生的数学推理能力、数学应用意识，以及统计与概率思想.

全概率公式和贝叶斯公式解决概率问题的核心是在于理解所给问题的深层内涵，合理划分相应的事件与事件之间的联系，在此基础上结合前面学过的条件概率、互斥事件概率加法公式等知识点来分析和解决问题.由于在概率论中占据极其重要的地位，能够解决生活中的很多问题，并且可以预测事物发展的方向，对于将来事件的走向有很大的借鉴意义，因此这两个知识点在新课标和新高考中必然会居于重要地位，同学们要透彻理解公式，要学会灵活运用公式解决生活实际问题，不断提高自己的数学建模、数学思维和数学运算等核心素养，不断提高分析问题、解决问题的能力.