例谈充分性在解题中的应用

摘要：在进行解题教学时要善于思考，弄清楚知识的来龙去脉，这样才能让学生透过现象看到本质，从而达到“一览众山小”的教学境界，唯如此方是我们的教学之道.

关键词：充分性；应用；现象；本质

匈牙利著名数学家G＼5波利亚有一句名言：掌握数学就意味着解题.在平时的数学学习中，学生和老师每日都离不开解题，但如何解答数学问题成为当下师生关心的共同话题.每次考完试，总会听到学生感叹：这个题目我就差一步——检验就正确了.常常为此懊悔不已.那么什么时候需要检验，什么时候不需要检验呢？下面以一道题为例，探讨一下.

1 问题呈现

问题已知函数f（x）=ax3－3ax2+3ax－a+2在区间［2，+∞）上单调递增，求参数a的取值范围.

错解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函数f（x）在区间［2，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在x∈［2，+∞）时恒成立，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）时恒成立.因为当x∈［2，+∞）时，3（x－1）2>0，所以a≥0.

正解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函数f（x）在区间［2，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在x∈［2，+∞）时恒成立，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）时恒成立.因为当x∈［2，+∞）时3（x－1）2>0，所以a≥0.当a=0时，f（x）=2，为常函数，不具有单调性，与已知矛盾，所以a≠0.故a>0.

2 错因分析

本题正解与错解的区别就是一个验证了a能不能取等号，即a是否可以为0的情况，而一个没有验证.显然，上述问题需要验证.为什么需要验证呢？

首先，举一个大家熟悉的例子——分式方程的根，我们知道对于分式方程，求出根之后需要反过来验证，究其原因，下面就从一道题开始：解方程x+1x－1－4x2－1=1.常规解法（解法1）是：由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1），于是x2+2x+1－4=x2－1，解得x=1.经检验，x=1是原分式方程的增根，因此，原分式方程无解.

有学生可能会非常疑惑，明明解出来x=1，为什么原分式方程无解了呢？问题出在哪里？上面的每一步是不是都无懈可击？我们知道分式方程要有意义，分母不为0，分式方程的解是在其本身有意义的条件下求解出来的，并不一定是在实数集R范围内的解，因此，本题x－1≠0且x2－1≠0，即x≠±1.此分式方程是在集合{x|x≠±1}内求解的.由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1）这一步是错误的，原因有两个：

（1）方程x+1x－1－4x2－1=1是在集合{x|x≠±1}内求解的，而方程（x+1）2－4=（x+1）（x－1）是在R内求解的，因此它们解不等价；

（2）因为方程x+1x－1－4x2－1=1的左边可化为x+1x－1－4x2－1=（x+1）2x2－1－4x2－1=x2+2x－3x2－1=x2－1+2（x－1）x2－1=1+2x+1≠1，而右边为1，左边≠右边，方程本身两边不相等，或者说此时不能称为方程.因为方程是含有未知数的等式，连等式都谈不上，更不能称为方程.而根据结果x=1，即x2－1=0，由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1）这一步是方程两边同乘x2－1，即乘0，就相当于把不等式变为等式，如3≠1，但是两边都乘以0，就变为等式0=0.依此类推，如果两边同乘x－a，最后一定会得到增根x=a.因此，这一步是错误的.

上述分式方程的另一种解法（解法2）如下：

由x+1x－1－4x2－1=1，可得

x－1≠0且x2－1≠0，（x+1）2－4=（x+1）（x－1），

即x≠±1，x2+2x+1－4=x2－1，亦即x≠±1，x=1.

故原分式方程无解.

由于上面每一步都是经过严格的推理论证得到的，因此此时不需要回头验证.即p1p2p3……pnq，有p1，一定可推出p2;有p2，一定可推出p3;……；直到有pn，一定可推出q.每一步充分性都成立，根据充分性具有传递性，最后得出的结论q就不再需要验证.整式方程不需要验证，原因也是这个.而本题，若记p1：x+1x－1－4x2－1=1，p2：（x+1）2－4=（x+1）（x－1），r：x－1≠0且x2－1≠0，p3：x2+2x+1－4=x2－1，p4：x=1，

解法1中由p1不能推出p2，p1不是p2的充分条件，所以最后求出的方程的解必须验证，而解法2中p1rp2rp3rp4，每一步充分性都成立，所以最后求出的分式方程的解不必验证.

3 问题解决

回到文章开头的问题，大家必须厘清函数的单调性与其导数之间的关系：

在某区间上，函数y=f（x）单调递增f′（x）≥0一定成立；但是反过来，不一定成立.

因为f′（x）≥0包含f′（x）>0和f′（x）=0两种情况，如果f′（x）≡0，则原函数y=f（x）是常函数，不具有单调性，就不能说函数y=f（x）单调递增.

怎样才能说明函数单调递增呢？只要函数对应的导函数不恒为0，允许有限个点处导数为0，其余的点处导数大于0，就可以了.

结论：在某区间上，f′（x）≥0且只在有限个点处为0，则函数y=f（x）单调递增.

记p：f′（x）≥0，r：f′（x）只在有限个点处为0，q：函数y=f（x）单调递增.

上述结论的符号语言为prq.

前述问题的解答是在缺少条件r的情况下由f′（x）≥0，得出函数y=f（x）单调递增，即由pq，进而求出a的范围，逻辑不严格，不具有充分性，因而最后必须验证a能不能取等号，即f′（x）=0是不是恒成立.

本题还可不需要验证而这样解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函数f（x）在区间［2，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在x∈［2，+∞）时恒成立，且f′（x）不恒为0，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）时恒成立，且3a（x－1）2不恒为0.因为当x∈［2，+∞）时，3（x－1）2>0，所以a>0.

最后，大家最关心的是解题时什么时候需要验证，什么时候不需要验证.

当p1p2p3……pnq，每一步充分性都成立，不需要验证q；否则，只要中间有一步充分性不成立，最后都需要验证q.

在数学中随处可见这种情况.如解三角形中多解取舍问题，原理就是大边对大角、大正弦值对大角.还有一个就是三角形是否存在的问题，计算出来的边或者角一定要检验是否使三角形存在.对于数列，一是等比数列的首项不能为0，二是在算出数列的通项或者前n项和后一定要检验对于n=1这种情况是否成立.对于圆锥曲线，一是利用韦达定理时一定要检验Δ≥0是否成立，二是利用点差法解决弦中点问题时一定要判断弦中点是否在曲线内，等等.

4 问题思考

数学解题之所以会产生增根，主要因为是在化简变形过程中使用的是必要条件而非充分条件，导致转化不等价.这就需要我们有严谨的思维，理性地去认识问题的本质.

当下，素养导向下的课程改革开展得如火如荼，其中注重强化学生的思维能力培养是发展学生核心素养的关键，对此，上级教育主管部门已明确提出，数学教学要摒弃“机械刷题”的教学模式.如何克服机械刷题？这是我们一线教师面临的焦点话题，也是我们目前必须研究的课题；否则，发展学生的核心素养就是无源之水、无本之末.笔者认为，在解题教学中，如果只告诉学生解决问题的操作过程，而不帮助学生分析解题过程背后的原理，学生就只能机械地照猫画虎，这样一来，当题目条件稍微一变，学生就无所适从了.出现这种现象的原因就是教师在教学中只是复制粘贴“解题过程”的行家里手，而不是教书育人的教学能手.在这样的教育教学环境下，学生缺乏创新思维意识，这显然与国家的教育方针背道而驰.因此，在解题教学时要善于思考，弄清楚知识的来龙去脉，才能让学生透过现象看到本质，从而达到“一览众山小”的教学境界，唯如此方是我们的教学之道.