三角形面积公式的向量形式及其应用

要结论.本文中结合三角形面积公式的向量形式对应定理的给出，进行合理推广与拓展，借助实例加以剖析与应用，抛砖引玉.

1 三角形面积公式的向量形式的定理和推论

引入平面向量的相关知识后，可以用平面向量及其相关知识来处理三角形面积公式，得到三个与平面向量形式有关的三角形面积公式的结论.

1.1 向量面积公式

定理在△ABC中，若AB=a，AC=b，则△ABC的面积为S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

证明：由S=12|AB|＼5|AC|＼5sin A，可得

S2=14|AB|2|AC|2sin 2A=14|a|2＼5|b|2＼5（1－cos 2A）=14|a|2＼5|b|2＼51－a＼5b|a|＼5|b|2=14（|a|2＼5|b|2－（a＼5b）2］.

所以S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

三角形面积公式的平面向量形式，在涉及一些与向量、坐标等有关的三角形面积求解与应用时，可以直接有效地加以转化与合理应用，解决问题更加方便.

1.2 向量坐标形式的面积公式

在以上三角形面积公式的平面向量形式定理的基础上，结合平面向量的坐标表示，经常直接利用平面向量的坐标及其对应的关系来表示三角形的面积.由此，可以得到用平面向量的坐标（或点的坐标）

表示的有关推论.

推论1：在△ABC中，若AB=（a1，b1），AC=（a2，b2），则△ABC的面积为S=12|a1b2－b1a2|.

证明：设△ABC的面积为S，由上述定理，可知

S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2

=12（a21+b21＼5a22+b22）2－（a1a2+b1b2）2

=12（a1b2－b1a2）2

=12|a1b2－b1a2|.

推论2：在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的面积为

S=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

证明：因为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），所以

AB=（x2－x1，y2－y1），AC=（x3－x1，y3－y1）.

由推论1，可知

S=12|（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）|

=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

借助平面向量的坐标表示或三角形三顶点的坐标，可以直接用来确定与之对应的三角形的面积，在实际解题应用中更加直接有效，也是解决问题中经常选用的一个重要“二级公式”与结论.

2 三角形面积公式的向量形式的应用

利用三角形面积公式的向量形式，可以处理已知三角形三个顶点坐标求有关的三角形面积问题，计算简单，操作方便.

2.1 面积的求解

例1在△ABC中，若A（－1，－1），B（3，5），C（-2，7），求△ABC的面积.

解析：由推论2，得

S△ABC=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|=12|－1×（5－7）+3×（7+1）－2×（－1－5）|=19.

点评：本题直接根据三角形的三个顶点的坐标，利用三角形面积公式的向量坐标形式的相关结论来分析与求解，更加简单快捷.此类作为课外拓展与提升的“二级公式”或“二级结论”，可以有针对性地加以了解与掌握.

2.2 面积最值的确定

例2在△ABC中，A（－2，5），B（3，2），点C在抛物线y2=－x上，求△ABC的面积达到最大值时点C的坐标，并求此时△ABC的最大面积.

解析：设点C（－y2，y），则CA=（－2+y2，5－y），CB=（3+y2，2－y），

则由推论1知S△ABC=12＼5|（－2+y2）（2－y）－（3+y2）（5－y）|

=12＼5|3y2－5y+19|=32y－562+20336=32y－562+20324.

所以当y=56时，△ABC的面积达到最大值，

即当点C的坐标为－2536，56时，△ABC的最大面积为20324.

例3已知直线l：y=4x和点R（6，4），在直线l上求一点Q，使直线RQ与直线l及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.

解析：设点Q（a，4a）（a>1），则直线RQ的方程为y－44a－4=x－6a－6.

令y=0，则x=5aa－1，所以直线RQ与x轴的交点为P5aa－1，0.

所以OQ=（a，4a），OP=5aa－1，0.

根据推论1，可知S△OPQ=12|a1b2－b1a2|=12a×0－5aa－1×4a=10a2a－1

=10［（a－1）+1］2a－1=10×（a－1）+1a－1+2≥102（a－1）＼51a－1+2=40，

当且仅当a－1=1a－1，即a=2时，S△OPQ取得最小值40，此时点Q的坐标为（2，8）.

故所求面积最小值为40.

点评：合理引入参数，借助三角形面积公式的向量形式的应用，可以更加直接地表示出相关三角形的面积，进而借助函数思维、不等式思维等合理放缩与应用，正确确定相应的最值问题.借助三角形面积公式的向量形式及其应用，往往可以更加快捷地构建三角形面积的表达式，为进一步的应用提供条件.

2.3 参数的求解

例4在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cos θ），B（sin θ，1），θ∈0，π2，则当△OAB的面积取最大值时，θ=（）.

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析1：由O（0，0），A（1，cos θ），B（sin θ，1），可得OA=（1，cos θ），OB=（sin θ，1），

则由推论1知S△OAB=12|1×1－sin θcos θ|=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，则

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以当θ=π2时，S△OAB取到最大值12.

故选择答案：D.

解析2：由O，A，B三点坐标及推论2知S△OAB

=12|0×（cos θ－1）+1×（1－0）+sin θ×（0－cos θ）|=12|1－sin θcos θ|

=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，则

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以当θ=π2时，S△OAB取到最大值12.

故选择答案：D.

点评：在同一场景下，三角形面积公式的向量形式的不同视角的应用，对于问题的解决有不同的效果.例4通过两种不同方法的比较与应用，体会在不同公式条件下的求解思维与解题过程，有效提升解题经验，拓展解题思维，提高解题能力.

三角形面积公式的向量形式是平面几何知识与平面向量知识的交汇与综合，也是三角形面积公式在平面向量场景中的具体体现，对于解决一些与之相关的问题，有很好的效果，可以在一定程度上优化解题过程，减少数学运算，开拓解题思维，很好提升数学能力并培养数学核心素养.