圆锥曲线综合探究类题型赏析

摘要：探究性问题是近年来高考数学中出现的新题型，其中圆锥曲线综合探究类试题包括探究条件、探究结论、创新探究、综合探究等类型，不仅涉及到的知识点多，而且对观察、猜测、分析、类比、转化、计算、证明等能力也有较高的要求，属于分值高、难度大的题型.解决这类问题，要打破常规，灵活运用“数形结合”“大胆假设，小心求证”“从一般到特殊，从特殊到一般”“转化变形”等数学思想与方法.

关键词：是否存在问题；对称问题；向量；掌握方法

“圆锥曲线与方程”是高中数学（人教B版选修1-1）中重要的学习内容，也是高考的一个重要考点，尤其是涉及到与圆锥曲线有关的位置关系问题、弦长问题、面积问题、对称问题、定点与定值问题、向量问题、存在与否（能否）问题等，多以探究性、综合性的压轴题型出现，分值高，计算量大，是考生失分的重灾区，因此，熟悉这类题型并掌握答题思路与方法就显得非常重要.本文中试图通过与双曲线、椭圆、抛物线相关的典型例题的解法赏析，就这类题型的思路与解法作一初步探讨，仅供参考.

1 探究双曲线内直线是否存在的问题

探究双曲线内直线是否存在的问题，属于探究条件的类型，思路是先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在[1].

例1已知双曲线x2－y22=1.

（1）过点A（2，1）的直线l与所给双曲线交于两点P1，P2，试求线段P1P2的中点P的轨迹方程.

（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1，Q2，且B是线段Q1Q2的中点？试探究：这样的直线是否存在？如果存在，求出它的方程；如果不存在，请说明理由.

解法1：（1）根据题意，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），

则有

x21－y212=1，①

x22－y222=1.②

①-②且因式分解，得

（x1－x2）（x1+x2）－12（y1－y2）（y1+y2）=0.

整理得直线l的斜率

k=2（x1+x2）y1+y2=4x2y=2xy.

因为P，A两点在直线l上，所以直线l的斜率为k=y－1x－2，故2xy=y－1x－2.

整理得2x2－y2－4x+y=0，即中点P的轨迹方程.

（2）假设直线m存在，那么它的斜率为k=2xy=2×11=2，则直线m的方程为y－1=2（x－1），即y=2x－1，它与双曲线应该有两个交点.

由y=2x－1，x2－y22=1，得2x2－4x+3=0，而判别式Δ=16－24<0，该方程无解，这与前面的假设相矛盾，所以这样的直线不存在.

解法2：（1）设过点A的直线l的参数方程为

x=x0+tcos θ，y=y0+tsin θ（t为参数），

其中（x0，y0）是线段P1P2的中点P的坐标，将参数方程代入双曲线方程x2－y22=1，化简得

（2cos 2θ－sin 2θ）t2+2（2x0cos θ－y0sin θ）t+2x20－y20－2=0.③

因为直线l与双曲线交于两点P1，P2，所以2cos 2θ－sin 2θ≠0，方程③必有两实根.又因为（x0，y0）是线段P1P2的中点坐标，所以t1+t2=0，即2x0cos θ－y0sin θ=0.结合l的参数方程，可得直线P1P2的方程为2x0（x－x0）－y0（y－y0）=0.因为直线P1P2过点A（2，1），所以2x0（2－x0）－y0（1－y0）=0，用x，y分别代换x0，y0即可得所求的轨迹方程为2x2－y2－4x+y=0.

（2）若存在这样的直线m，则当x0=1，y0=1时，方程③必有实根，且两根之和仍为零，则2cos θ－sin θ=0，即sin θ=2cos θ，代入③得－2t2cos 2θ－1=0，此方程显然无实根，这与以上所述相矛盾，所以这样的直线不存在.

解法赏析：本题的第（1）问是求过定点的弦的中点轨迹方程，解法1是运用代入法，解法2是设出直线的参数方程，利用t的意义即t1+t2=0来求解，这两种方法是解答此类问题的常用方法.本题的第（2）问是探究“存在与否”的问题，解题的思路是“大胆假设，小心求证”，先假设直线m存在，然后将其转化为方程解的存在性问题来解决.

2 探究椭圆中的对称问题

探究椭圆中的对称问题，需要用到对称问题的基本原理：设A（x1，y1），B（x2，y2），若A，B两点关于直线y=kx+m对称，则有y2－y1x2－x1=－1k且A，B两点连线的中点在直线y=kx+m上，即若x0=x1+x22，y0=y1+y22，则有y0=kx0+m.此类问题还可通过点差法求出中点与斜率之间的关系来解决[2].

例2如图1，椭圆G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点F1（－c，0），F2（c，0）和顶点B1，B2构成面积为32的正方形.

（1）求椭圆G的方程.

（2）设斜率k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A，B，Q为AB的中点，且P0，－33.

试探究：A，B两点能否关于直线PQ对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.

解析：（1）因为四边形F1B1F2B2为正方形且面积为32，所以c=b，且a2=32.又因为a2=b2+c2，所以2b2=32，b2=c2=16，故椭圆G的方程为x232+y216=1.

（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.联立x232+y216=1与y=kx+m，得x232+（kx+m）216=1，化简得

132+k216x2+km8x+m216－1=0.

所以，x1+x2=－km8132+k216=

-4km1+2k2.

由Δ=km82－4132+k216m216－1＞0，可得4132+k216－m232×16>0，整理得

m2<32k2+16.

若点A，B关于直线PQ对称，则kPQ=－1k.

设AB的中点Q（x0，y0），则有

x0=x1+x22=－2km1+2k2，

y0=kx0+m=k－2km1+2k2+m=m1+2k2.

所以Q－2km1+2k2，m1+2k2.

由kPQ=m1+2k2+33－2km1+2k2=－1k，解得

m=1+2k23.将m=1+2k23代入m2<32k2+16，得1+2k232<32k2+16，解得－942<k<0或0<k<942.

故当－942<k<0或0<k<942时，A，B两点关于直线PQ对称.

解法赏析：本题考查了椭圆中的对称问题，涉及到中点坐标公式和直线斜率公式的灵活应用.第（1）问根据正方形的面积与a2=b2+c2的关系即可求得椭圆的方程；第（2）问通过联立椭圆与直线的方程，采用假设的思路，利用根与系数的关系求出m的值，进而求出k的取值范围.

3 探究抛物线中与向量相关的问题

探究抛物线中与向量相关的问题，通常是利用向量的坐标运算将向量转化为与坐标有关的代数式，结合代数式的特征和图形的性质选择相应的方法[3]；解题的关键是掌握向量关系与几何图形中元素之间关系的等价转化.

例3已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.

（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行.

（2）试探究：是否存在实数k，使NA＼5NB=0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）如图2，设A（x1，2x21），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2，得2x2－kx－2=0，则有

x1+x2=k2，

x1x2=－1.

所以xN=xM=x1+x22=k4，可知点N的坐标为k4，k28.因为y=2x2，所以y′=4x，则抛物线在点N处的切线的斜率为4×k4=k.

所以抛物线在点N处的切线与AB平行.

（2）假设存在实数k，使NA＼5NB=0，由（1）得NA=x1－k4，2x21－k28，NB=x2－k4，2x22－k28，所以NA＼5NB=x1－k4x2－k4+2x21－k28＼52x22－k28=x1－k4x2－k4+4x21－k216＼5x22－k216

=x1－k4x2－k41+4x1+k4＼5x2+k4

=x1x2－14k（x1+x2）+116k2＼51+4x1x2+k（x1+x2）+k24

=－1－k4×k2+k216＼51+4×（－1）+k×k2+k24=－1－k216－3+34k2=0.因为－1－k216<0，所以－3+34k2=0，解得k=±2.

故存在k=±2，使NA＼5NB=0.

解法赏析：第（1）问利用了导数的几何意义，一般情况下，形如y=ax2（a≠0）的抛物线的切线斜率可用求导方法求解；第（2）问的解题思路是把NA＼5NB=0转化为坐标式，利用根与系数的关系求解.

上述典例只是圆锥曲线综合类探究问题中的几种常见题型，其目的在于“窥一斑而见全貌”，希望通过类似的训练与复习，能够让考生加深对圆锥曲线概念、性质的理解，熟练掌握“设而不求、整体代入、换元设参、因式分解、求导、转化”等求解通法，进而激发学生探究的热情、思维和灵感，达到举一反三的目的.

参考文献：

[1]徐春生.例析圆锥曲线中存在型问题[J].中学生数理化：高二数学，2022（Z1）：46-47.

[2]徐之财.圆锥曲线探究，思维“五步”构建——以2021年新高考Ⅱ卷圆锥曲线压轴题为例[J].数学教学通讯，2023（6）：84-86.

[3]王美莲.真题再现，解析突破，多解探索，教学建议——以2023年高考新课标全国Ⅰ卷“圆锥曲线压轴题”为例[J].数学教学通讯，2023（24）：83-85.