一节探究抛物线性质“y1y2=-p2”的专题讨论课

专题讨论课是师生在学习过程中以某个教学内容为中心，在教师的指导下，学生先自学，再进行课堂讨论的教学模式.高中数学在某些章节内容上完后，可以适当地开展专题讨论课.通过这种方式，既可以加深对所学内容的理解，又可以促使学生产生新的想法，开阔眼界和思路，培养他们独立思考的能力.

1 专题讨论课的步骤

专题讨论课的开展一般包含以下四步：

（1）教师事先根据学生遇到的问题或难点，和学生共同商定研究主题，并在组长的带领下提前进行自学和小组研究；

（2）小组确定组员在课堂上分享各小组研究成果，其他学生有不同意见可以进行补充；

（3）教师作为课堂的引导者，必要时解答学生的疑问，并给予细致讲解和归纳；

（4）课程结束时，教师要引导学生对问题进行总结提升，并适当给予评价和褒奖.

2 专题讨论课案例

在学抛物线性质的过程中，学生对抛物线的性质“y1y2=-p2”产生了浓厚的兴趣，要求老师组织一节课开展专题学习，于是笔者和学生一起开展了一次专题讨论活动.

2.1 问题的提出

课前，针对这个性质，给学生提出了以下问题：过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2.

（1）要证明y1y2=-p2可以从哪些角度入手，分别怎样证明？

（2）此性质还可以做哪些引申推广？能否根据这一性质得到一些新的结论？

（3）由此性质推广出的结论可解决哪些题型？

2.2 性质证明的探讨

针对上述问题（1），大家共同探讨，得到证明思路如下：

三组A同学：“由“y1y2=-p2”，联想到韦达定理中的两根之积，从而形成解题方向一.

四组B同学：“对于抛物线的焦点弦，常规解决方法是利用抛物线定义进行转化，形成解题方向二”.

见学生沉默下来，笔者决定适当引导一下：“同学们，直线过焦点，事实上就是直线和抛物线的两个交点与焦点三点共线，从三点共线的角度又可以形成怎样的证明方向呢？”

一组C同学积极发表了意见：“老师，可以利用直线方程和直线斜率公式解决.”笔者及时给予肯定：“C同学思维很活跃，还有同学有其他的想法吗？”

学生想了一会儿，六组D同学补充发言说：“老师，我觉得还可以利用共线向量解决以及定比分点公式解决.”

学生的证明思路越来越广，于是笔者留了十分钟让小组进行讨论，并让几位学生将他们的证明过程投屏.

证法1：利用韦达定理.

当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程为x=p2，代入y2=2px得y=±p，故y1y2=-p2成立.

当直线斜率存在时，设其方程为y=kx-p2（k≠0），则x=yk+p2，代入抛物线方程y2=2px并整理得y2-2pyk-p2=0，由韦达定理知y1y2=-p2.得证.

证法2：利用抛物线定义.

记过焦点F的直线与抛物线交于两点P1，P2，并设P1y212p，y1，P2y222p，y2.过点P1，P2分别作准线的垂线P1P′1，P2P′2，P′1，P′2

为垂足.由抛物线定义知|P1P2|=|FP1|+|FP2|=|P1P′1|+|P2P′2|，即

y212p-y222p2+（y1-y2）2=y21+y222p+p，

两边平方整理得（y1y2+p2）2=0，所以y1y2=-p2.

证法3：利用斜率公式.

记过焦点F的直线与抛物线交于两点P1，P2，并设P1y212p，y1，P2y222p，y2.

当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程为x=p2，代入y2=2px得y=±p，故y1y2=-p2成立.

当直线斜率存在时，

k=y1-y2y212p-y222p=y1y212p-p2，

整理得y1y2=-p2.

证法4：利用三点共线.

由两点式可得焦点弦P1P2所在的直线方程为

y212p-y222p（y-y1）=（y1-y2）x-y212p，

而焦点Fp2，0在直线上，则有

y212p-y222p（0-y1）=（y1-y2）p2-y212p.

整理，得y1y2=-p2.

证法5：利用共线向量（略）.

证法6：利用定比分点（略）.

笔者不断引导学生，让他们从多角度思考问题，并鼓励学生积极参与探索、思考、创造，由此激发学生的创新意识，培养创新能力.

2.3 性质结论的引申

学生发现一个小小的性质可以有如此多的证明方法特别激动，但不能让学生因为暂时的收获兴奋不已而阻挡思维的脚步，教师作为引领者要进一步引导学生去探索和发现：“同学们，抛物线的这一性质是否可以推广和引申呢？”就像刚爬上山顶又遇到一座更美丽、更高的山峰，学生的斗志又被激发出来了.师生共同研究，学生总结了如下新的结论：

结论1若一条直线过抛物线y2=2px（p＞0）

的焦点且与其交于不同的两点（x1，y1），（x2，y2），则x1x2=p24，y1y2=-p2.

结论2若一条直线与抛物线y2=2px（p＞0）的两交点坐标为（x1，y2），（x2，y2），且x1x2=p24（或y1y2=-p2），则该直线必过抛物线的焦点.

结论3若抛物线y2=2px（p＞0）上有两个点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），且直线AB与x轴交于M（x0，0），则y1y2=－2px0，x1x2=x20.

结论4若一条直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2=－2px0（或x1x2=x20），则该直线必过点（x0，0）.

2.4 性质结论的应用

在学生得出结论的基础上，笔者进一步加以引导：“同学们，在遇到问题时大家开动脑筋积极思考探究，这种研究精神太可贵了！给你们点赞！我们进一步探究一下，用你们总结的结论可以解决哪些问题呢？”学生一听，兴致更高了，有的翻书，有的查资料，有的讨论，热火朝天！

过了大概七八分钟，六组的E同学勇敢地走上了讲台，展示了她设置的题目和她的解答过程.

应用1过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的一条直线与抛物线交于P，Q两点，设直线OP交准线于点M.

求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴.

证明：设P，Q的坐标分别为y212p，y1，y222p，y2，则

OP所在直线方程为y=2py1x.

令x=-p2，得yM=-p2y1.

又y1y2=-p2，则y2=-p2y1，所以

y2=yM.

故直线MQ平行于x轴，即直线MQ平行于抛物线的对称轴.

笔者忍不住感叹：“哇，E同学真是一个细致又乐于思考的好同学，不仅对课本的例题了如指掌，而且可以另辟蹊径找到不同的解法，分析得非常到位！”笔者这一顿夸奖，使得学生一个个像打了鸡血一样，争先恐后地要上台展示.

五组的范同学冲上讲台，展示了他的聪明才智.

应用2已知点A（－1，0），B（1，－1），抛物线C：y2=4x，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，求OM·OP的值.

解：设M（x1，y1），P（x2，y2），因为M，P，A三点共线，所以

由结论（3）得x1x2=x2A=1，

y1y2=－2pxA=－2×2×（－1）=4.

所以OM·OP=x1x2+y1y2=5.

这位范同学有点小聪明但是学习持久力不强，刚好借此机会把他狠狠夸了一顿.笔者带头鼓起了掌：“小范老师设置的题目太好了，用了推导的新结论，长此以往，怕是要坐上为师的宝座了！”同学们哄堂大笑，使劲儿鼓起了掌！范同学虽然脸红了，但是腰挺得更直了！

眼看快下课了，笔者说：“还有最后一个机会给你们！”说时迟那时快，沈同学已经把她的劳动成果投屏到黑板上.

应用3已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，若OA·OB=2，求△ABO和△AFO面积之和的最小值.

解：设直线AB与x轴的交点为（x0，0）（x0>0），A（x1，y1），B（x2，y2），y2<0<y1.

由结论（3）得x1x2=x20，y1y2=－2px0=－x0.

所以OA·OB=x1x2+y1y2=x20－x0=2，解得

x0=2或x0=－1（舍），

则y2=－2y1.

因为S△ABO=12x0（y1－y2）=y1+2y1，

S△AFO=12|OF|y1=18y1，所以

S△ABO+S△AFO=98y1+2y1≥298y1×2y1=3，

当且仅当98y1=2y1，即y1=43时取等号.

所以△ABO和△AFO面积之和的最小值为3.

笔者忍不住夸奖：“在如此短的时间内，沈同学设置了如此典型的例题，不仅用到我们得到的结论，还利用了重要不等式求最值！”学生都向她投去了佩服的目光，这是前进过程中最大的动力.此时已快下课，笔者带领学生简明扼要地总结了本次活动课，并鼓励和肯定学生的积极表现.

3 课后思考

通过本次专题讨论课，学生掌握了新知识，解决了新问题，深刻体会到创造的喜悦，富有新意，也是创新意识的表现.在教学过程中，教师要对学生的性格了如指掌，对学生的表现及时给予恰当的肯定和鼓励，哪怕是有些夸张的赞美，也能增强勇于表现的学生的自信心，其他学生看到台上学生的优异表现，表现欲望也更强烈，从而形成良性循环.

作为一名战斗在一线的教育工作者，帮助学生打下扎实的知识基础，形成良好的学习习惯以及探索钻研的精神，让他们对数学学习保持极大的持续的热情，是我们的首要责任.所以，在以后的教学中，还要不断地探索和思考，为学生的创新精神和实践能力打下坚实的基础.