情境创设，概念教学

摘要：概念教学是高中数学教学中一个非常重要的环节，也是充分展示教师能力水平与教学经验的场所，设计契合教学规律，落实核心素养，适合学生思维习惯，引起学生共振的教学设计是教师不断追求的目标.结合三角函数的概念教学，合理创设情境，巧妙设置问题，优化教学过程，完善教学设计，做了一个很好的尝试.

关键词：三角函数；概念；正弦；余弦；正切；教学设计

1 教材分析

三角函数是在学习了函数的基本概念，以及幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的基础上加以学习的，延续了初中的锐角三角函数定义，在此基础上结合任意角的推广加以深入学习.作为函数主线的一个延续，三角函数是高中阶段学习的最后一个基本初等函数.同时，三角函数又与前面学过的其他基本初等函数有一些差别，特别是三角函数是合理描绘客观世界中周期性变化规律的一类重要函数模型，在数学学习与其他领域中有着非常重要的作用.

本节课基于锐角三角函数定义以及“任意角和弧度制”，结合角的推广与三角函数的引入来构建本知识模块.借助现实世界中的周期性现象与特殊模型，深刻感受三角函数概念的必要性，并借助单位圆的引入与直观作用来定义相应的正弦函数或余弦函数.

2 教学分析

2.1 学习目标

（1）会通过求任意角的终边与单位圆交点的坐标来求任意角的三角函数值.

（2）能理解任意角的三角函数的定义，以及定义产生的背景与实际应用，并在此基础上掌握相应三角函数的定义；进一步加深对函数的概念、表示等的理解与掌握.

2.2 学科素养目标

（1）通过数形结合探究三角函数的概念，培养直观想象与数学抽象素养.

（2）通过对实际生活案例的探究，利用三角函数构建模型，培养数学建模素养，提高数学能力.

2.3 重点与难点

（1）教学重点：理解任意角三角函数的定义，能利用定义求任意角的三角函数值.

（2）教学难点：理解三角函数是刻画现实世界中具有周期性变化现象的数学模型，能从现实生活实例中抽象出三角函数模型并解决实际问题.

3 教学过程

3.1 复习回顾，创设情境

（1）课前回顾

问题1前面部分，我们已经学习了任意角和弧度制的相关知识.请完成对应的概念填空（学案内容，这里略）.

师生活动：学生课前预习，自主完成.教师直接提问，检查学生完成情况.

教学说明：复习任意角与弧度制的定义，为引入三角函数的概念奠定基础；通过表格的填写，一是检验之前所学知识的掌握情况，二是发现所学知识的局限性，即无法知道超出锐角之外的角的三角函数值，产生认知冲突，为拓展做好铺垫.

问题2初中只学习了锐角三角函数的概念，现在角的概念拓展到了任意角，三角函数的概念又该如何重新定义呢？

（2）情境探究

探究活动1：筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图2）.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.基于理想模型，假定筒车上的每一个盛水筒都进行着匀速圆周运动.

简单抽象，视盛水筒为一个简单的质点P，那么点P的运动规律就类似于圆周上动点P的位置变化.我们可以将简车抽象为一个几何图形，建立平面直角坐标系（如图3）.

教师活动：为方便研究，我们构建出筒车的数学现实模型如下：筒车转轮的中心点O到水面的距离为h0，其半径r=1，按逆时针方向匀速转动，假定转动一周需要360 s.（针对该问题，这里的角速度是多少？即一秒转动多少度？）从初始位置点A出发（圆周与x轴正半轴的交点），求经过t s后，点P相对于水面的高度h的表达式.

从图4来看，给出粗略的表达式（定性刻画）：h=h0±MP.进一步，结合具体情境，如t=20，40，80时，对应h的表达式分别是怎样的？

一般地，过了t s呢？猜想：h=h0+sin t°.

师生活动：学生讨论后发现，随着时间的推移，筒车不断转动，角度也不知不觉地推广到了任意角.结合探究过程，请学生讨论“对于任意角α，sin α该如何定义才合情合理”？

教学说明：基于问题的探究，合理猜想，并在猜想的基础上加以合理推理与应用，这也是概念类教学中比较常用的一种基本教学模式，充分体现数学学科的自然性与应用性.

3.2 模型分析，构建新知

探究活动2：对问题进行合理猜想与推测，得出h=h0+sin t°，这里时间为t s.而借助几何关系h=h0±MP进行比较，则满足sin t°=±MP.

师生活动：结合图4加以直观分析，通过点P→∠POA→MP→sin ∠POA=±MP，形成一个关系链.

教师：随着点P的变化，对应坐标系，可知±MP的绝对值与MP长度相等，其对应的符号在第一或第二象限是正的，在第三或第四象限是负的.

师生活动：归纳可知，可借助点P的纵坐标y来表示并代换相应MP或－MP的值.

教学说明：基于初中锐角三角函数的定义中比值形式，过渡到坐标系中的坐标比值，形成知识的类比与延续，进一步深化初中与高中数学之间的自然过渡与联系.

探究小结：综合上述探究过程，总结提炼三角函数的概念.（教材中第178页内容，这里略.）

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

3.3 实例剖析，巩固概念

例1（课本第178页例1）求5π3的正弦、余弦和正切值，并总结方法步骤.

方法步骤：（1）画出角5π3的终边，与单位圆交于点B；（2）过点B向坐标轴作垂线，求出点B的坐标；（3）根据定义写出角5π3的三角函数值.

教学说明：画出角的终边，求出其与单位圆交点的坐标.强化关键知识的掌握，落实关键能力的训练，同时在学生展示过程中关注解题过程的规范性.

练习1利用单位圆的三角函数定义，请每组同学负责一个角度的三角函数值计算.（题略）

学生活动：分组完成，答案交流.

教学说明：合理有效且及时的巩固是学习概念、公式等最为有效的方式，结合例题与相应的练习，可以很好达到目的，同时不断加以强化.

3.4 探索提升，完善成果

探究活动3：已知角θ的终边过点P（－4，3），求角θ的三角函数值.

教学说明：对课本例2进行取值处理，引导学生从特殊到一般理解方法，同时掌握与任意点坐标相关的计算公式.

探索成果：如图5，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），点P与原点的距离为r=|OP|=x2+y2，则可得sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx.

练习2（课本第180页练习3）已知角θ的终边过点P（－12，5），求角θ的三角函数值.

教学说明：从不同思维视角确定求解角的三角函数值的技巧与方法，拓展思维，提升应用.

3.5 课堂小结，梳理体系

教师活动：（1）三角函数是刻画现实世界中具有周期性变化现象的数学模型，例如筒车的盛水筒随筒车转动源源不断运水灌溉这一运动规律.

（2）本节课借助单位圆建立一般三角函数的概念，具体计算步骤为：画出角θ的终边，其与单位圆交于点P0；过点P0向坐标轴作垂线，求出点P0的坐标；根据定义写出角θ的三角函数值.

4 教学反思

4.1 优点剖析，继承发扬

整个教学案设计清晰规范，各环节设计合理，注重数学知识的生成过程，注重情境引入，课内教学形式多样，充分发挥了学生自助、互助以及教师帮助的作用，充分调动了学生的学习积极性，学生思维活跃，课内注重必备知识的落实、关键能力的培养和核心素养的发展.

4.2 缺点建议，优化提升

在具体设计中，要有机构建初中的锐角三角函数定义与高中的任意角三角函数定义这两个概念之间的关系，形成一个连续的思维过程与升华过程.同时，在具体教学中，教师要注意指出学生展示中的规范性问题，从细节入手，细致到位.