动态与静态的巧妙融合：一道抛物线题的破解

摘要：依托一道高考模拟题中的抛物线问题，借助问题的动态与静态的巧妙融合，从代数、距离、焦半径等不同思维视

角切入，开拓数学思维，拓展解题技巧，合理变式拓展，进行深度学习与探究学习，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：抛物线;动点;代数;距离;焦半径

直线与抛物线的位置关系的综合问题，是高考命题的一类基本类型.此类问题，基于抛物线自身所具有平面解析几何的基本属性，或者曲线所对应的平面几何的性质特征等，特别是抛物线的焦点弦或焦半径问题、抛物线的光学性质问题等，有效联系抛物线自身“数”的本质属性与“形”的几何特征，合理利用逻辑推理、直观想象、数学运算等来分析与解决，培养数学核心素养，全面考查学生的数学“四基”与数学基本能力，具有较好的区分度与选拔性，备受命题者青睐.

1 问题呈现

问题已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=8x上两个不同的动点，且满足y1y2=－16，则|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值为.

此题以抛物线为问题背景，利用抛物线上两个特殊的动点A，B所满足的条件（

隐含条件，AB是焦点弦）来设置，进而确定含有两动点的坐标关系式的绝对值之和的最值问题.

而在解题时，可以从所求式子的代数视角切入，利用纯代数法来推理与运算；也可以从所求代数式的结构特征视角切入，利用距离法来推理与运算；还可以回归焦点弦的本质，从焦半径公式视角切入，利用焦半径法来推理与运算.三个不同的思维视角对应三种不同的技巧与方法.

2 问题破解

解法1：纯代数法.

依题意可得|x1+y1+2|=y218+y1+2=18（y1+4）2，同理可得|x2+y2+2|=18（y2+4）2.

因为y1y2=－16，所以18（y1+4）2+18（y2+4）2=18[（y1+y2）2+8（y1+y2）+32－2y1y2]=18×[（y1+y2+4）2+48]≥6，当且仅当y1+y2+4=0，即y1+y2=－4且y1y2=－16时，等号成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值为6.

点评：纯代数法解决平面解析几何问题，对于代数式的变形与转化有着非常高的要求，借助绝对值的变化、代数式的配方等，进而利用二次函数的图象与性质来分析与处理，过程简捷，步骤优化，是解决该问题的一种非常不错的“巧技妙法”.

解法2：距离法.

依题可设直线AB的方程为x=my+n，n>0.

联立x=my+n，y2=8x，消去x并整理可得y2－8my－8n=0，则有y1+y2=8m，y1y2=－8n=－16，解得n=2，故直线AB过焦点F（2，0）.

设AB的中点为M，则yM=12（y1+y2）=4m，xM=myM+n=4m2+2，所以M（4m2+2，4m）.

设点A，B，M到直线l：x+y+2=0的距离分别为d1，d2，d，由梯形的中位线定理可得d1+d2=2d.

利用点到直线的距离公式，可得

d1=|x1+y1+2|2，

d2=|x2+y2+2|2，

d=|xM+yM+2|2.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=2（d1+d2）=22d=8（m2+m+1）=8m+122+6≥6，当且仅当m+12=0，即m=－12时，等号成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值为6.

点评：距离法的依据是所求结果中的代数式吻合点到直线的距离公式，自然联想到通过点到直线的距离公式来转化与应用.距离法离不开平面几何的基本性质，以及平面解析几何中的点、直线等要素，综合起来加以应用与转化，得以实现代数式的最值的求解.距离法的求解比较容易构建，但解题过程要加以合理转化与巧妙应用.

解法3：焦半径法.

同解法2可得直线AB过焦点F（2，0）.

由抛物线的焦半径公式，数形结合可得x1+y1+2=|AF|+y1≥|y1|+y1≥0，同理可得x2+y2+2≥0.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=|AF|+y1+|BF|+y2=|AB|+y1+y2=|AB|+8m.

而|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·（y1+y2）2－4y1y2=8（1+m2）.

所以|AB|+8m=8（m2+m+1）=8m+122+6≥6，当且仅当m+12=0，即m=－12时，等号成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值为6.

点评：焦半径法的应用前提必须是对应的直线过焦点，推理并分析直线的性质就成为解决问题的首要条件.而焦半径法的应用，可以结合抛物线的定义，以及数形结合等数学思维，是一种不错的解法.同时，焦半径法的应用，也给此类问题的深入探究与变式拓展提供方向，为深度学习提供条件.

3 变式拓展

3.1 改变条件

根据原问题的焦半径法，其中利用了抛物线中的定值“y1y2=－p2”，为确定直线AB过焦点F提供条件.那么改变问题条件，从抛物线中的另一个定值“x1x2=p24”入手加以创设，得到以下对应的变式问题［1］.

变式1已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=8x上两个不同的动点，且满足x1x2=4，则|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值为.

解析：依题，设直线AB的方程为x=my+n，n>0.

联立x=my+n，y2=8x，消去y，得x2－（8m2+2n）x+n2=0，则有x1+x2=8m2+2n，x1x2=n2=4，解得n=2，故直线AB过焦点F（2，0）.

由以上联立的方程，消去x并整理可得y2－8my－8n=0，则有y1+y2=8m，y1y2=－8n=－16.

由抛物线的焦半径公式，数形结合可得x1+y1+2=|AF|+y1≥|y1|+y1≥0，同理可得x2+y2+2≥0.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|=|AF|+y1+|BF|+y2=|AB|+y1+y2=|AB|+8m.

而|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·（y1+y2）2－4y1y2=1+m2·64m2+64=8（1+m2），所以可得

|AB|+8m=8（m2+m+1）=8m+122+34≥6，当且仅当m+12=0，即m=－12时等号成立.

所以|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值为6.

故填答案：6.

3.2 改变设问

根据原问题的距离法，合理改变题设条件或含有两动点的坐标关系式的所求代数式，以更加复杂的题设条件或直线方程形式来设置，给距离法的应用提供条件，得到对应的变式问题.

变式2已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=8x上两个不同的动点，且满足x1x2+y1y2=0，则|x1+y1+2|+|x2+y2+2|的最小值为.（参考答案：18）

变式3已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=8x上两个不同的动点，且满足y1y2=－16，则|x1+3y1+6|+|x2+3y2+6|的最小值为.（参考答案：10）

4 教学启示

依托抛物线的方程与基本性质，结合抛物线自身“数”的本质属性与“形”的几何特征，给涉及抛物线的综合应用问题的解决提供更加宽广的空间.基于此，为问题的深入拓展与变式应用提供条件，为深度学习与探究学习打下坚实的基础.

从问题的题设条件与解析过程入手，依托“一题多解”与“一题多变”，巧思维探究，妙方法拓展，进一步提升问题的综合性、应用性以及创新性等，成为更加全面、细致地考查学生的“四基”与“四能”的一种重要方式.

参考文献：

[1]韩文美.焦点之弦，灵巧善变——基于一道教材例题的探究（抛物线）[J].中学生数理化（高二数学），2022（11）：15-16，18.