一道圆的综合试题的深度探究

摘要：涉及圆的综合应用问题，一直是高考中比较常见的基本考点之一.结合一道高考数学模拟题，合理挖掘题设条件与背景，借助不同思维视角的切入与应用，多技巧方法应用，多视角变式拓展，从不同层面探究破解问题的思路与变式拓展，指导数学教学与解题研究.

关键词：圆；直线；最值；距离；三角换元

作为初中平面几何中的一类基本图形，圆是初中逻辑推理与应用问题的常见载体；作为高中平面解析几何中的一类基本曲线，圆又是高中代数运算与应用中的一类基本考查对象.而涉及圆的综合应用问题，恰好联系起初、高中阶段的不同数学知识，从圆的不同视角与侧面，渗透了数学基本思想方法，成为高考数学命题中的重要知识点之一.

圆的综合应用问题，基于圆的几何特征与代数属性，给问题的解决与应用提供了不同的思维视角，从而契合高考数学命题“在知识交汇点处命题”的理念，常考常新，一直成为各级各类考试的必考内容和热点内容之一.

4 教学启示

4.1 合理交汇，巧妙应用

圆的综合应用问题，往往融合“数”与“形”这两种不同属性与特征，或借助“数”的思维视角进行合理的数学运算，或借助“形”的思维视角进行合理的逻辑推理，还可以“数”“形”结合加以综合应用.对于与圆相关的最值综合应用问题，往往还需从“动”与“静”的思维视角，借助点、曲线等“动”与“静”的结合来分析与解决问题，合理加以交汇与综合应用，有效落实数学知识的“四基”与数学思维的“四能”，从而合理加以拓展与应用.

4.2 变式拓展，“一题多变”

圆的综合应用问题以及相应的变式拓展，其实质在于合理依托问题的本质与内涵，合理交汇与融合数学基础知识与基本思维，进而借助“一题多解”的方式，进行合理的“一题多思”“一题多变”“多题一解”等方面的深入探究与创新应用，达到“一题多得”的目的.

特别地，基于典型数学问题的综合应用，合理挖掘内涵与实质，进而对问题加以合理的变式与拓展，实现问题的深入学习与应用，从而“一题多变”，实现“一题多得”，在此基础上合理提升数学关键能力，促使学生养成良好的数学思维习惯等.