一类解三角形试题的多解探究

涉及三角形中三个内角所对应的三元三角函数关系式问题，巧妙将三角函数、解三角形、函数与方程、不等式、函数与导数等相关知识加以交汇与融合，实现数学知识之间的交汇与数学关键能力的融合，成为高考数学命题中比较常见的一类热点与难点.此类问题可以从三角函数的视角切入，也可以从函数与方程的视角切入，多视角变式拓展，是一类全面考查“四基”与“四能”的重要载体.

1 问题呈现

问题 （湖北省武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷）设A，B，C是一个三角形的三个内角，则cos A（3sin B+4sin C）最小值为______.

此题是一道以三角形为问题场景，求解三元三角函数的最小值，是一道数学能力与创新立意的综合问题，有效考查考数学思想和方法，分析问题和解决问题的能力等.

涉及三元三角函数问题，关键在于逐一转化，由三元化二元，再由二元化一元，其主要策略就是基于主元法来合理消元处理，最后转化为对应的一元函数，借助三元均值不等式、函数与导数的应用等思维来处理.而利用主元法消元处理时，可以通过辅助角公式来转化，也可以利用重要不等式来放缩转化.思维角度不同，可以很好开拓数学思维与技巧方法.

4 变式拓展

变式 （2024年山西省部分学校高考数学模拟试卷）锐角三角形ABC的内角A的对边为a，若△ABC的面积是a2，则sin Acos Bcos C的最小值是______.

解析：依题意及三角形的面积公式，可得S△ABC=12bcsin A=a2，整理有bcsin A=2a2.

利用三角形的“第二射影定理”有a=bcos C+ccos B，结合题设条件中△ABC是锐角三角形，则有bcos C>0，ccos B>0.结合基本不等式，可得sin Acos Bcos C=bcsin Abccos Bcos C=2a2（bcos C）（ccos B）≥2a2bcos C+ccos B22=2a2a22=8，当且仅当bcos C=ccos B，即B=C时，等号成立.

故sin Acos Bcos C的最小值是8.

5 解题启示

涉及解决此类三角形中三内角所对应的三元三角函数关系式的问题时，合理挖掘三元三角函数关系式的结构特征，抓住三角形的应用场景，合理借助三角形的内角和定理、三角函数中的三角恒等变换公式等，基于主元法思维来合理消元.

而借助解三角形中相关问题的应用，根据题设条件中的关系式及其相应的结论特征，或直接转化，或合理配凑，将相关的知识巧妙地渗透与融合进去，合理优化解题过程，有效简化数学运算过程，提升数学解题效益，真正起到事半功倍的神奇效果，值得深入推广与拓展应用.