一道平面向量试题的多角度破解方法

摘要：涉及平面向量的数量积的最值（或取值范围）问题，是高考命题中比较常见的一类热点问题.结合一道平面向量数量积问题，根据题设的应用情景创设，挖掘问题的本质与内涵，合理选用与之相应的思维技巧与策略方法来分析与处理，总结解题思维方法与技巧规律，指导数学教学与复习备考.

关键词：平面向量；数量积；三角形；外接圆；最值

作为平面向量的基本知识之一，平面向量的数量积成为近年高考的一个基本考点.特别是涉及数量积的最值（或范围）问题，基于平面几何，依托平面向量，融合函数与方程、三角函数、基本不等式等相关知识，成为该模块知识中考查的重中之重，也是课堂教学与复习备考中的一个基本专题.

1 问题呈现

问题 已知△ABC的外接圆半径为1，则AB·BC的最大值为______.

此题以三角形及其外接圆为问题场景，通过已知△ABC的外接圆为单位圆来创设，结合三角形的两边所对应的两平面向量的数量积的最值来设置.题目条件简单明了，求解目标明确简捷.

该问题看似简单，但实际操作与求解起来却有一定的难度.根据试卷的实际应用，以及学生做题情况，结合本题得分的统计信息可知，这道题的得分率极低，做对的学生寥寥无几.

合理分析问题条件，巧妙挖掘内涵与本质，从平面向量的数量积求解视角切入，可以借助基底法、投影法、极化恒等式法以及三角函数法等来应用，从不同层面加以突破与求解，实现问题的解决.

2 问题破解

2.1 基底思维

方法1：基底法1.

解析：依题意，由于AB·BC=（OB－OA）·BC=OB·BC－OA·BC=－12|BC|2－|BC|cos α≤－12|BC|2+|BC|，其中O为外圆圆心，α为OA与BC的夹角，当且仅当OA与BC的方向相反，即cos α=－1时等号成立，

3 变式拓展

变式 △ABC中，已知|BC|=1，|AB|=3，|AC|=6，P是△ABC的外接圆上的一个动点，则BP·BC的最大值为______.（2）

4 教学启示

其实，解决平面向量数量积的最值（或范围）及其综合问题，从题设条件入手，合理寻觅并挖掘数量积的结构特征与题设条件，从“数”的代数属性或“形”的几何直观等视角切入与应用，合理进行恒等变形与转化.

特别在实际解题与应用过程中，合理借助平面向量数量积的最值（或范围）及其综合问题的解题经验的积累与技巧方法的应用，选取行之有效的数学思维方法与对应的技巧策略，实现数量积最值（或范围）问题的求解，从而有效养成良好的数学思维品质，提升数学解题能力，拓展数学应用与创新思维.