基于高考评价体系的2024年新高考Ⅱ卷压轴题分析及教学启示

1 理论概述

高考数学评价体系是我国高考评价体系中的重要组成部分，旨在全面、科学地评估考生的数学能力和素养，以满足高等教育选拔优秀人才的需求.

高考数学评价体系的评价核心：

①基础性：强调数学基础知识和基本技能的掌握.基础性是高考数学评价的首要核心，目的是确保考生具备高等教育所需的基本数学素养.

②综合性：强调数学知识的综合运用能力.高考数学评价不仅仅考查单一知识点的掌握情况，更注重考生对数学知识的整体理解和综合运用能力.

③应用性：强调数学知识的实际应用能力.数学的价值在于其广泛的应用性，高考数学评价体系特别关注考生利用数学知识解决实际问题的能力.

④创新性：强调考生的创新思维和创新能力.创新性是高等教育和社会发展对人才的核心要求之一，高考数学评价体系通过设置具有挑战性的新题型、新情境，考查考生的创新思维.

2 真题及解析

2024年新高考Ⅱ卷的压轴题作为试卷中最具挑战性的部分，集中体现了高考数学评价体系的核心要求.分析这一题型的原因在于，它不仅考查学生对数学概念、方法和思维的综合应用能力，还反映了命题趋势，即对学生创新能力、逻辑推理能力及解决复杂问题能力的重视.通过对压轴题的深入分析，能够帮助教育工作者更好地理解高考数学的评价导向，从而在教学中更有针对性地培养学生的高阶思维能力和应试技巧.

（新高考Ⅱ卷第19题）已知双曲线C：x2－y2=m（m>0），点P1（5，4）在C上，k为常数，0<k<1，按照如下方式依次构点Pn（n=2，3，……），过点Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为（xn，yn）.

3 试题分析

3.1 四层分析

此题通过三个层次的问题设计，充分考查了学生的数学必备知识、关键能力和学科素养，蕴含丰富的核心价值.首先，题目中的双曲线方程以及斜率概念属于数学必备知识，要求学生具备扎实的代数基础和几何知识.其次，题目考查学生的关键能力，特别是逻辑推理和解题策略的选择.在第（2）问中，要求证明数列为等比数列，涉及对数列的性质和公式的掌握，这需要学生具备较强的推理能力和数学表达能力.学科素养方面，此题要求学生将几何问题转化为代数问题，体现了数学的抽象思维与逻辑严谨性，这不仅是对知识的应用，更是对数学素养的考查.最后，核心价值体现在通过对复杂问题的分步解决，培养学生持之以恒、精益求精的学术态度，树立积极面对挑战的精神.

3.2 四翼分析

在四翼方面，此题综合性强，包含了代数、几何和数列知识的交叉应用，考查了学生对多个知识点的整合能力.基础性体现在题目涉及的基本数学概念和运算上，如双曲线方程、斜率公式等，这些都是数学学习中的基础内容.应用性则通过第（1）问的计算和第（3）问面积公式的推导体现出来，要求学生能够在具体情境中灵活运用所学知识.创新性则表现为题目在构造点Pn（n=2，3，……）时的设定，这种递归构造要求学生具有一定的数学建模能力和发散性思维.题目在这些方面的考查，意在培养学生的综合应用能力、创新思维及解决问题的独立性，使他们具备应对复杂现实问题的能力.

3.3 一核分析

从一核“立德树人”的角度来看，此题以其复杂的结构和严谨的逻辑，意在培养学生追求真理、精确思维的学术精神.通过问题的逐步深入，学生要运用所学知识进行自主探究和证明，体验到数学的逻辑美和理性思维的力量.这种设计有助于培养学生在面对困难时的毅力和勇气，以及在解决问题过程中的耐心和细致.特别是在第（3）问的面积恒等证明中，学生需要通过不断的推理和验证来寻找通解，这一过程不仅是知识的积累，更是人格的锤炼，符合“立德树人”核心价值观的要求，最终帮助学生在成长过程中树立正确的世界观、人生观和价值观.

4 教学启示

4.1 夯实基础知识，提升应用能力

本题在第（1）问中要求计算点的坐标，体现了双曲线方程与斜率公式的综合应用.对此，教学应特别强调基础知识的扎实掌握，并注重提升学生在复杂情境中的应用能力.教师在讲解双曲线方程及其性质时，不仅要帮助学生理解相关概念，还需通过设置类似情境问题，鼓励学生在实际问题中进行运用.通过这种方式，学生能够更加熟练地掌握公式和定理，并能够灵活地将其应用到不同的题型中.特别是在高考中，题目往往不仅仅考查单一的知识点，而是要求学生将多个知识点结合应用.通过反复练习和应用，学生不仅能够夯实数学基础，还能提高应试能力，在面对类似复杂问题时表现得更加自信和从容.

4.2 强化逻辑推理，培养严谨思维

第（2）问涉及数列的证明，这不仅要求学生掌握数列的基础知识，还需要他们具备一定的逻辑推理能力和严谨的数学思维.在教学中，教师应注重通过类似题目的训练，强化学生的推理和证明能力.通过引导学生经历归纳、演绎、类比等推理过程，帮助他们理解数列的内在逻辑结构和推导方法.此外，教师还应鼓励学生在解决问题的过程中注重思维的严谨性，培养他们养成逐步推导、层层验证的好习惯.这种思维训练不仅有助于提升学生的数学素养，还能够帮助他们在面对复杂问题时更加冷静和有条不紊地进行思考和解答，从而提高整体解题水平.

4.3 培养创新意识，增强综合应用能力

本题的第（3）问要求证明三角形面积恒等，展示了对学生创新思维和综合应用能力的高要求.教学中，教师应注重通过开放性问题和探索性任务，培养学生的创新意识.在实际课堂上，教师可以通过设立挑战性问题或开放性问题，引导学生从多角度思考，探索多种解题路径.这不仅能帮助学生发现问题的多样性，还能激发他们的创造性思维.同时，教师应鼓励学生将不同的数学知识和方法相结合，增强综合应用能力.通过这种方式，学生能够逐步提升自己在数学领域的创新能力，并在高考中展现出更加灵活和富有创意的解题技巧.这种创新意识的培养，不仅对数学学科有益，还能为学生的全面发展和未来学习打下坚实的基础.