一道双变元代数式试题的探究

涉及“双变元”或“双参”的综合应用问题，是基于双变元所对应的函数、方程或不等式等的应用，是近年高考数学试卷中的一个基础知识点与基本考点.此类综合应用问题，借助函数与方程、函数与不等式、函数与导数等方面的综合与应用，结合双变元之间的变换与设置，成为全面考查“四基”与“四能”等比较重要的一种方向，备受各方关注.

1 问题呈现

问题 （2024年山东省齐鲁名校高三年级下学期考前质量检测·14）已知两个不同的正数a，b满足（1+a）3a=（1+b）3b，则ab的取值范围是______.

此题以“双变元”所满足结构相同的代数式相等为问题场景，以方程形式来限制双变元之间的关系，进而确定双变元乘积的取值范围.题目场景相对比较简单，以高次方程来创设，融入“双变元”设置，进而确定代数式的最值（或取值范围）.

题目简单明了，对于代数式的最值或取值范围问题，最常见的数学思维方式就是不等式思维或函数思维，从这两个不同的数学思维切入，结合代数式的变形与转化，借助函数与方程、函数与不等式等之间的关系与应用，实现代数式的最值或取值范围的求解与确定，达到突破的目的.

4 教学启示

破解此类涉及“双变元”或“双参”的综合应用问题，关键是借助问题场景的设置与应用，结合函数、方程或不等式等基础知识，通过知识的转化与变形，借助函数思维、方程思维、不等式思维等，采取切之可行的方式来处理，特别是消元处理、主次元处理、整体化处理等，还可以借助函数或方程等的构造与应用来分析，这些都是破解此类综合问题的常见技巧方法与解题思路.

而涉及“双变元”或“双参”的函数、方程以及不等式等综合应用问题，以形式多样、变化多端等特点，一直是命题中的重点与难点之一.处理此类问题时，要正确挖掘问题的内涵与实质，联系起对应的函数、方程或不等式等基础知识与基本思想.这对于全面考查学生的基础知识与基本能力等方面都是非常有益处的；同时也能够全面养成良好的数学解题习惯与数学思维品质，培养学生的数学核心素养.