深度理解教材 发展学生核心素养

最近两年来，笔者阅读各种数学杂志，发现有不少文章是关于单元教学设计的，现在有关“单元整体建构教学的实践与思考”的理论研究也日趋增多.学习新课标、研读新教材、把握新高考、设计新课堂的理念在教师群体中蔚然兴起，新教材的显著变化也彰显出教材编写方面很好地遵循“知识内容螺旋式上升，知识结构整体性”的原则.因此，我们工作在第一线的教师还需要进一步深度理解教材，关注主题单元的教学，注重学生思维发展的阶段性、连续性.现结合以函数为主题单元的教学设计谈以下几点体会.

1 把握主题教学的基本路径，增强教学的整体性

章建跃先生在《数学学科核心素养导向的高中数学教材改革》的报告中提出：数学学科核心素养导向的教材设计关注的首要问题就是明确基本套路，增强教学的整体性.报告中指出函数的基本套路：

（1）准备知识（集合、常用逻辑用语、不等式的性质）—函数的一般概念与基本性质—基本初等函数.

（2）函数的一般概念：背景—概念—性质—应用.

（3）基本初等函数：背景—抽象—图象与性质—应用.

（4）特殊函数数列：背景—概念（定义、表示）—等差（比）数列—应用.

（5）导数：物理背景、几何背景—概念—运算及运算法则—应用［1］.

现在新版教材有很大的变化，也符合函数基本套路的研究，人教A版数学必修第一册第一章是“集合与常用逻辑用语”，第二章是“一元二次函数、方程和不等式”，第三章是“函数的概念与性质”.新版教材在这部分内容安排上做了新的调整，因为随着对数学认知的再发展，经过一年又一年的教学实践，数学本身有着严密的知识体系，数学课堂教学要求讲授新知识前充分铺垫准备知识.其实这部分内容在没调整之前，很多教师也是先复习二次函数、一元二次方程、一元二次不等式后再开始讲授高中数学知识.数学知识的系统性要求数学教学内容也要层层铺垫、环环相扣，符合学生认知规律.比如，高中函数的概念教学是高一数学教学的一个难点，高中函数概念和初中函数概念之间既有联系又有区别，教材安排第一章学习集合与常用逻辑用语的意图是让学生学会用数学语言来描绘数学概念.学习集合语言能让学生在经历对初中函数概念升华的过程中，完成初中函数的“变量”观点向高中函数“集合”与“对应”观点的转变，培养学生用发展的观点学习数学.人教A版数学必修第一册第二章新安排复习一元二次函数、方程和不等式.不仅复习了初中二次函数的知识，还复习了一元一次方程和一元一次不等式的解法，深化了初中一元二次方程和一元二次不等式的解法，接着又新安排学习不等式的性质和基本不等式等内容.不等式的解法和分解因式的知识，为后面继续学习证明函数的单调性、函数零点、函数和方程、函数和不等式、比较函数值大小等做了一个很好的运算铺垫.教材这样安排，在学生元认知的基础上找准了新知识的生长点，增强了教学的连续性和整体性.

2 重视概念的形成过程，发展数学抽象素养

数学抽象是数学核心素养之一，发展学生数学抽象素养在数学教材中也处处有体现.如何在课堂中培养学生抽象能力？例如人教A版数学必修第一册“3.1函数的概念及其表示”这一节，教材首先探究了四个问题.第一个问题的设计意图是基于学生的最近发展区创设情境，路程S随时间t变化而变化，这个问题学生初中就理解得很到位，符合学生的认知基础，提升点在于明确时间t和路程S的变化范围.第二个问题对应的函数不连续，离散型变量能让学生进一步体会并关注自变量取值范围的重要性.第三个问题的设计意图是用图象来刻画函数，因为这个函数很难用解析式表示，图象本身就是函数的一种表示形式.第四个问题的让学生思维产生碰撞，再一次感知变量依存的局限性，再从图象的角度认识函数.问题四设计意图是函数可以用列表法表示，列表法体现了集合A，B间的“对应”雏形，为顺利实现从初中函数概念“变量说”升华到高中函数概念“对应说”作铺垫.教材安排的四个问题，让学生从不同角度认知函数的不同表达形式，实现从感性认知到理性认知的飞跃，这是新教材从生活实例中第一次抽象函数的概念.

函数的表示除了解析法、图象法、列表法外，还可以引进符号f统一表示对应关系，强调符号y=f（x）表示“y是x的函数”，这个对应关系也可以用任意的小写英文字母g，h等表示.如h（x）=2x+1，g（x）=2x+1，f（x）=2x+1表示同一个函数；再如f（t）=2t+1与f（m）=2m+1也表示相同的函数.这个函数符号的引入，是第二次抽象函数，从而培养了学生的数学抽象思维能力，使学生原有的认知结构更优化.

3 探求性质的研究方法，发展逻辑推理素养

认真研读新课程标准，笔者发现新课程标准对于学生逻辑推理新的培养有明确和具体的要求.新课程标准要求教师通过教授高中数学课程，能让学生掌握逻辑推理的基本形式，发展学生逻辑推理核心素养.笔者有幸听过沈春妍老师的一节公开课，这节课对学生逻辑推理素养的培养给笔者留下了深刻的印象.沈老师并不是带领学生用“乘公比错位相减法”推导等比数列的求和公式，而是避开这种操作性的常规训练和教条式讲解，创设问题情境，给学生独立思考和真实探索的机会，真正引发学生的认知冲突.学生的精彩发言部分如下：

方法1：由特殊到一般猜想归纳法.

对于Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，先提取公因式再转化求和，令

Tn=1+q+q2+……+qn-1，然后对q特殊化，取q=1，2，3，……，再对n特殊化，取n=1，2，3，……，经过多次猜想，归纳得出Tn=qn-1q-1，从而得出等比数列的求和公式Sn=na1，q=1，a1（1-qn）1-q，q≠1.这是由特殊到一般归纳形成等比数列前n项和公式.在数列的学习过程中，教材多处体现了归纳推理是研究数列问题的常见策略，我们可用分析法来证明这个猜想.

途径（1）：对q≠1，欲证Sn=a1（1-qn）1-q，只需证（1-q）Sn=a1（1-qn），只需证Sn-qSn=a1-a1qn（以下证明略）.

途径（2）：对q≠1，Sn=a1（1-qn）1-q，n=1显然成立，对n≥2时，Sn=a1+a2+……+an，只需证明Sn-Sn-1=an=a1qn-1（以下证明略）.

一题多思是课堂教学必须实施的环节，可以培养学生的发散思维，展示学生思维的过程，让学生的思维更有逻辑性.

方法2：方程与函数解法.

由等比数列前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1出发，从这个表达式中，我们发现只需要a1，q和n这三个基本量即可表示出求和公式.因此可得

Sn=a1+q（a1+a1q+……+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），（n≥2），整理为

Sn=a1-qan1-q=a1（1-qn）1-q（q≠1，n≥2，n∈N*），然后再讨论n=1时和q=1时的情况，进一步完善等比数列求和公式.教师引导学生检验，可以让学生思维更严谨.

方法3：乘公比错位相减法.

这个方法的难点是“如何想到求Sn与qSn之差”，即难点在于“发现公式”.有的学生预习了教材内容直接在课堂上搬用，没有预习教材的学生很难想到这种方法.沈老师从等比数列前n项和出发，由等比数列的通项公an=a1qn-1和等比数列通项的递推关系式an=an-1q，puv75D3gtXrej4dTLOmrCg==去分析求和公式的结构，帮助学生找到了推理论证的切入点.这个地方可以类比刚刚学过的“等差数列”和“裂项求和”知识点.等差数列求和是根据通项的结构特征，利用运算律转化为常值合并，来消去很多中间项;等比数列求和则要根据通项的结构特征，利用运算律转化为相同项抵消，来消去很多中间项（即乘公比错位相减法）.因此，如果从单元设计角度，整体把握知识的脉络，就能彰显前后知识的密切联系，发现知识之间并不孤独.尽管课堂有瑕疵，但这是智慧的课堂，是真正的数学课堂.

4 借助概念背景，发展数学建模素养

新课标中要求的对学生数学建模素养的培养，在课堂中怎么完成？在高考中，一道道崭新的题目呈现在考生面前，需要考生自己根据新情境去分析、去抽象、去概括、去判断，去运算、去找到相应的数学模型，进而解决问题.而这个能力在哪个环节中培养？笔者认为应该从新教材设置的新情境中去培养和发展学生数学建模素养.

例如，人教A版教材必修第一册“5.6函数y=Asin（ωx+φ）”中给出的情境中蕴含着用一个函数模型刻画筒车运动的规律.笔者在讲授这节时，引导学生自己动手去完成建模活动，出乎意料的是，班级有部分学生用锐角三角函数建立了高度与时间的关系，通过分类讨论，解决了筒车的问题.学生为什么不假思索想到锐角三角函数，而不是想到正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+h呢？这是因为锐角三角函数是学生初中就已经掌握的知识，印象深刻.而学生对于正弦型函数是刻画周而复始运动规律的模型，还没有深刻的认识.因此在给筒车运动建模时，部分学生选择了锐角三角函数.锐角三角函数的确能够解决这个筒车问题，但这是不是最好的数学模型？笔者引导学生理解新教材中用三角函数刻画圆周运动的规律作为思考的切入点，重新建模.然后，笔者利用多媒体展示学生的建模结果，并请学生叙述建模的构想.学生各抒己见，部分学生用正弦型函数一次建模成功，还有部分学生选取单位圆作为初始模型，然后改变圆的半径、角的起始位置和角速度的大小，最终完成建模.笔者倒是非常欣赏学生的第二种建模过程，因为这个学生抓住了单位圆是三角函数学习中的一条主线，思路清晰，有理有据；建模过程中同时也深刻阐述了三角函数中A，ω，φ和h的实际意义.这个思路让班级大部分学生大彻大悟.这节课师生、生生相互交流，享受对话的美妙，课堂呈现出生动活泼动态的局面.另外，在讲授这节课时，有的教师把教科书中的筒车问题与例2即摩天轮问题合并成一个问题讲解，这是对教材的理解不到位；如果可以合并，教材就完全没必要设置生活中两个圆周运动的实例.筒车情景作为课题的引入，是引导学生用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型，摩天轮问题是让学生体会运用自己构建的三角函数模型解决简单的实际问题.教材这样设置能深度发展学生数学建模核心素养.

因此，准确理解和把握数学课程标准和新教材，是对一名合格的中学教师的基本要求.教师作为教学的组织者、引导着和参与者，必须增强自己驾驭教材的能力，认真分析教材，关注主题单元的教学，发展学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］章建跃.数学学科核心素养导向的高中数学教材改革［R］.北京：人民教育出版社课程教材研究所，2020.

［2］李海东.突出函数本质，重视研究过程，发展数学核心素养——《普通高中教科书·数学（人教A版）》函数主题教材设计与教学建议［J］.中学数学教学参考，2019（28）：12-16.