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放缩法化繁为简,构造招变难为易

2024-10-17李彤

中学数学·高中版 2024年10期

摘要:本题以三角函数与对数型函数为载体,通过函数型不等式的证明、函数极值点的研究考查函数与导数的基本知识和性质、数形结合等数学思想以及具体问题具体分析的思维本质.一题多解只是起点并非终点.本文中先对题目进行溯源,然后重点揭示该题多种解法背后的思维本质,通过分析挖掘解题的最优路径,提高对压轴题的本质理解和备考效率.

关键词:思维本质;一题多解;数形结合;放缩分析

1 题目:2023年新高考Ⅱ卷第22题

(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sin x<x;

(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.

2 试题分析与思维导图

2.1 思维分析

本题第(1)问为“函数型”不等式,较为常见熟悉,一般思路为直接放缩证明或构造函数通过函数最值证明,难度适中.本题第(2)问,也是熟悉的极值点问题,本质为导数零点问题,“想清楚”和“说明白”的难度都较大,需要在全新题目结构与情境中“具体问题具体分析”.这一类问题命制容易,解决起来往往异常困难.正如数学家高斯所说:“它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏的极深.”从命题的角度看,选择函数载体,让其满足f′(0)=0,f″(0)<0即可.本题相较于2018年全国卷Ⅲ理科第21题难度似乎小一些.

从解题角度看,第(2)问大致的思路一般是先利用多次求导找出要求的范围,借此进行分类讨论,该肯定的肯定、该否定的否定.有时候,某些细节要想用“初等数学”说明白,对“具体问题具体分析”要求很高.常见的处理方法一般有:

先“数形结合”,通过f′(0),f″(0),……等值的正负确定答案,以此为分类讨论标准进行证“是”、证“否”,过程中往往需要充分利用题目条件、联系目标函数和一阶导函数的结构作出最优处理.

如果难以提前确定结果,如f′(0)=0,f″(0)=0,……,则只能求导观察,根据目标确定分类讨论标准,然后再证“是”和证“否”,难度更大,不确定性更强.可以借助极值的第三充分条件加以说明.

具体问题具体分析:因为f(x)为偶函数,定义域为(-1,1),故只需要研究x∈(0,1)即可(与第(1)问范围一致),由f′(0)=0,f″(0)=2-a2<0,所以a>2或a<-2.

第一种情况:a=0不合题意,具体运算证明即可;

第二种情况:0<a≤2不合题意,将f′(x)变小但仍在(0,t)上大于零,根据结构运用sin x<x,结合具体问题具体分析;

第三种情况:a>2符合题意,将f′(x)变大但仍在(0,t)上小于零,根据结构运用sin x>x-x2,结合具体问题具体分析.