新课标教材中拓广探索问题给我们的启示

摘要：本文中通过人民教育出版社2019年A版新教材必修第一册“5.5三角恒等变换”的一个拓广探索题的系统研究，归纳总结出解决拓广探索问题的不同路径与方法，帮助学生掌握解决三角函数问题的通性通法，巩固三角函数公式，培养善于思考、敢于质疑、不断创新的意识与能力.

关键词：数学教学；主动探究；拓广探索；实践创新

1 研究背景

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：教材提供了学习主题、基本线索和具体内容，要感悟数学知识之间的关联，加强对数学的整体理解；要关注数学核心素养的综合性与整体性；要重视习题编写的针对性、整体性，提升学科素养和综合能力[1].拓广探索题是人教A版新教材中的一类新题型，能很好地体现新课标理念的开放性和发展性，是具有应用性、探索性的教学资源.三角函数章节知识丰富，公式、定理较多，使得问题的思维方式、解决途径与变式研究灵活多样，但也呈现较强的规律性，蕴含着等价转化、变量代换、整体建构等思维.

2 教学探源

以学生的视角和立场为切入点，以拓广探索问题为载体，展开深度探研，发挥问题的应有之能，形成主干知识的前后关联，在发散思维中开阔视野，铺设逻辑思维阶梯，锤炼方法，涵育创新意识[2].

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

2.1 题目分析

价值分析：从所含角、函数名与结构式探究发

现这三个式子具有如下共同特征——两角差都等于30°；正弦与余弦对称出现，等式左边均为二次式而右边为常数；正余弦的平方和与积的和等于同一个常数.本题设计很有深意，主要考查了抽象概括与合情推理.教师引导学生根据已知条件观察发现上述规律，从特殊问题提炼归纳出一般情形，提升学生的概括能力与抽象素养.教师指导学生研究教材中的拓广探索问题时，要认真领会编者的设计意图和考查目的，分析问题的内涵与外延，多角度思考解决问题的途径与方法[3]，激发学生自主更新与深度理解数学知识，培养学生的建构意识和发散思维.

定位分析：对于本题，可进行如下定位研究.此题可看作是一道证明问题，用以解决三角函数式的化简与求值，帮助学生理解所学知识，掌握思想方法；也可看作是一道开放性问题，答案不固定，有利于培养学生猜想、抽象与归纳等能力；还可看作是一道数学建模问题，能有效培养学生的建模能力与直观想象素养；另外，可看作是一道变式教学问题，通过问题情境多角度思考、多解法探索，用三角变换的策略和方法来展示该问题中的等式构建与检验推证，是提高学生数学学习兴趣、培养学生创新思维能力的好素材[3].

2.2 证法探析

2.3 深度研究

反思：上述论证均体现了三角变换在化简、求值中的重要作用，蕴含了丰富的数学思想方法，突出考查学生探索规律、整体思维和转化与化归等关键能力，助力学生形成严谨的推理思路和清新的高阶思维.对问题拓广探源，学会用不同思维与方法去探索数学问题，具有很好的示范性、聚焦力[4].同时，教师要不断给学生设置思考支点，启发诱导，激活课堂，让学生思维广泛深入，引导学生深入探索，并从拓广探索问题中，激趣润心，发散思维，创新求异.

2.4 启示应用

在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立任意角的三角函数的概念，构建数学模型，用几何直观和代数运算来探索三角函数间的恒等关系，为研究数学公式的推导、解决实际问题提供了策略与方法.上文中题目的另一证法，能实现从“解题”进阶为“解决问题”.

3 教学建议

3.1 学会温故知新与推陈出新

数学教学要遵循知识发生、发展和学生认知过程的合理性，深度探究思维之“源”，跨学科跨章节寻求教材之“根”，高观点思考数学之“质”，图形直观感受数学之“美”，变式解题感悟数学之“法”.三角函数具有较高的学科育人价值和素养发展价值，其思想方法渗透到各个章节，在高考中举足轻重.拓广探索题具有典型性和代表性，蕴涵着丰富的情境背景，抓住具有示范作用的结论和解法，挖掘其潜在功能，在探寻各种解法的基础上推广问题，生成一类新问题，实现知识积累、能力培养和学科价值引导，促进“五育”融合.

3.2 重视思维拓展与实践创新

拓广探索问题重视学生的思维由单极向多极发散，在不同思维层次上探寻不同答案，建构深度思维体系，培养独创精进的思想和主动探究的精神，激发学生的求知欲和学习兴趣.引入拓广探索题能体现理性思维特质的基本特征，是教学过程中培养理性思维和科学探索的重要方式，为学生的探究学习提供了更大的思考维度和思维自由度，[JP+1]让学生在开放的综合情境中创造性地解决问题，再形成创造性的结果或结论，培育学生的数学品质与人文精神，不断拓宽学生的学习空间和思维能力，体悟数学中美的神韵、思的艺术和辨的能力[5].

3.3 强化知识联系与方法归纳

三角问题的解决路径一般是分析差异、建立联系、定向转化和运算推理，采用“化异为同”“弦切互化”“常数代换”等方法和公式正用展开、逆用化简、变用配凑等恒等变形，梳理定义、公式、性质等知识形成网络，梳理方法形成系统.通过构建知识树、思维导图，设置问题串、变式题组，利用情境引入促使学生主动参与，设计探究活动吸引学生深度参与，利用相互评价激发学生合作交流，完善认知结构和思维梯度，体验数学之美与研究之力，不断发展数学核心素养.

参考文献：

[1]罗建宇.整体观视角下高中数学教学的建构与思考——兼谈“双曲线的标准方程”的教学[J].数学通报，2022（10）：20-24.

[2]李昌官.为学生铺设合乎逻辑的思维阶梯[J].数学通报，2022（10）：25-28，43.

[3]程若礼.高中数学新教材一道拓广探索问题的研究[J].中学数学杂志，2021（7）：19-21.

[4]张静元.对高中数学新教材一道三角恒等变换习题的拓广探索[J].数理化解题研究，2022（25）：89-91.

[5]冯爱龙.探析高中数学教学中的德育融合[J].中学数学，2022（19）：3-5.