培养直观想象素养，提升解决问题能力

摘要：将直观想象素养渗透到高中数学教学的每个环节，是发现问题、提出问题、分析问题的重要手段，是探索和形成解题思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础，是高中生认识数学概念和形成数学思维的基本能力.本文中从几何直观和代数直观两个角度，以解题为例浅析如何培养学生直观想象素养，提升解决问题能力.

关键词：直观想象素养；几何直观；代数直观

直观想象素养是借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路［1］.高中阶段，学生学习了几何图形，具备空间思维的基础，能分析研究对象的位置形态及变化规律，使数学问题形象化和具体化，从而找到解决问题的思路、方法［2］.它是在针对某个数学对象进行有效观察和思考的基础之上，对其整体和本质的直观把握.不仅要有丰富的经验积累，更需要在此基础之上进行理性概括和升华.因此，应用直观想象素养解题需要平时不断地积累，最终实现应用自如.

应用直观想象素养解题，就是借助图形，构建数学模型、直观分析、找到解题思路，获得正确答案.通过解题，发现规律，揭示问题本质，获得解决问题的思想与方法，提升学科核心素养和关键能力［3］.下面，笔者从几何直观和代数直观两个角度浅析如何培养学生直观想象素养，提升解决问题能力.

1 几何直观

1.1 图表直观

对于一些内容抽象、关系复杂的数学问题，理解题意往往比较困难，可以利用图表或示意图直观地分析题意，把抽象内容具体化、复杂关系简洁化，使思维有具体的切入点，深入思考，发现解题线索.

例1 （2018新课标Ⅰ卷理科第3题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如图1所示的饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）.

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

分析：题目中新农村建设后，经济收入增加了一倍，是关键信息.借助新农村建设前后经济收入比例的饼形图的直观性，从图中读出相应的信息即可得结果.

点评：本题主要是借助图形的直观性发现图中的数据信息，利用数学运算和逻辑推理，建立数据关系，再用数学语言描述、分析实际问题，充分体现了直观想象学科素养在解题中的应用.

1.2 图形直观

一些以几何图形为依托，求解数量关系的题目，如果直接用代数方法求解，过程复杂、计算量较大.不妨借助图形直观，从几何角度分析题目中的数量关系，找到快捷的解题方法.

例2 （2017新课标Ⅰ卷理科第2题）如图2，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.

分析：借助八卦图的直观性，发现问题的本质——八卦图的对称性，然后建立面积关系，求出此点取自黑色部分的概率为π24=π8.故B选项正确.

点评：本题根据几何图形直观，建立数与形的联系，通过运算解决数学问题.

1.3 模型直观

模型直观是指以实际事物的模拟性形象来提供感性材料的直观方式.实际生活中一些常见几何体的物体，以直观的方式建立几何关系.

例3 （2020新课标Ⅰ卷理科第3题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）.

点评：本题以实物为模型，抽象出空间几何体，根据几何体的直观性建立等量关系，进而解决问题.

1.4 情景直观

情景直观是以实际的事物本身作为直观对象进行的直观活动，有些数学题目源自于设计的真实情景，把情景抽象出简单的数学模型，结合实物的真实数据，建立合理的数量关系，找到试题的答案.

例4 （2020新课标Ⅱ卷理科第4题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）.

分析：本题中的圜丘坛分为上、中、下三层，每层均有n环，每环的石块数都是一个等差数列，每层的石块数是等差数列的和，再根据三层之间的关系建立等式求解每层的环数.

点评：通过真实情景培养学生关键能力，本题从北京天坛圜丘坛的真实情景中抽象出等差数列的数学模型，然后进行数学推理及运算.不仅解决了实际问题，还落实了直观想象素养.

2 代数直观

史宁中教授在《普通高中高中课程标准（2017年版）（解读）》中谈到，直观想象素养不仅仅局限在几何直观方面，也体现在代数直观方面.

代数直观是以代数内容为切入点，根据代数形式不经过演绎推理对代数运算结果或概念、性质等迅速直接把握的一种判断能力.高中阶段，虽然学生的代数运算能力和逻辑推理能力有一定基础，但是在有限的考试时间内，学生需要快而准地做出答案.因此，一些代数问题，可以从题目的形式特点、结构特征，直观地发现其规律，减少逻辑推理过程，达到快速求解的目的.

2.1 数据直观

数据直观是指根据题目中数据特点，通过直观感知，发现数据规律，借助已有知识，找到解决问题的方式.比如，数列中等差或等比数列的规律、归纳类比、杨辉三角，还有根据散点图、表格来拟合函数等.

点评：本题考查归纳推理，根据数据特点和数值变化特征的直观性，发挥想象，从特殊到一般，进行归纳推理，解决问题.

2.2 数形直观

数形结合是一种很重要的数学思想.数形直观在解题中起到关键性的作用.数量关系与几何图形的相互转化，有时数量关系从几何角度来解释，可以使问题变得直观而简洁；几何问题在代数运算和逻辑推理下，可以轻松解决抽象的关系.如函数图象的问题，在数量关系的推理下，结合图象的直观性，题目很快得到解决.

点评：本题通过代数运算得到数量关系，进而判断函数的奇偶性与函数图象的大致形状.首先根据抽象的函数关系，推导函数性质，建立数与形的联系，利用图形描述与分析数学问题.考查函数的性质与图象，凸显直观想象等学科素养.

2.3 特殊化直观

一般地，特殊性是普遍性的具体反映，相对而言，特殊化的情境往往显得简单、直观.因此，考虑普遍性问题时，可以直接用特殊情况来代替.如零点问题、函数的奇偶性、线性规划、绝对值不等式、解三角形、平面几何中的最值、复数等内容常常考虑特殊情况.

点评：本题把代数不等式转化为平面几何区域，根据最优化的特点，结合平面图形的直观性，直接建立特殊关系，通过特殊化直观想象，得出问题答案.

2.4 结构直观

所谓结构直观就是根据代数关系的结构形式，联想几何对象，发掘二者间的内在逻辑，并在几何背景下解决代数问题.结构直观需要一定的数学知识积累为前提，发挥直观想象，把代数形式转化为几何结构特征，凸显问题本质，进而直观解决代数问题.

点评：本题根据方程的结构特点，联想双曲线的定义，发掘二者的内在逻辑，把代数问题几何化，体现直观想象素养的内涵.

本文中笔者从几何直观和代数直观两个角度分析解题过程中的直观想象素养，通过具体案例探究提升学生解决问题的能力.限于篇幅没有进行深度展开，目的是通过解题培养学生的直观想象素养，落实立德树人根本任务.希望能给读者以启发.

参考文献：

[1]方厚良，罗灿.谈数学核心素养之直观想象与培养[J].中学数学，2016（19）：38-41.

[2]钟晓斌，林新建.“直观想象”在全国卷试题中的应用探析[J].中学数学研究，2017（7）：31-33.

[3]李昌官.直观想象视角下的2019年高考数学试题研究[J].基础教育课程，2019（16）：25-33.