注重关联 悟理明法 理法相融

【摘 要】计算教学要引领学生利用新旧知识之间的联系，上下贯通，不仅要掌握计算方法，更要把握计算的本质，理法相融，培育学生数学运算的核心素养，提升其运算能力。文章以苏教版数学四年级下册“三位数乘两位数”的课堂教学实践为研究素材，探究如何关联情境建立新知与旧知之间的联系，厘清算理，打造说理课堂。

【关键词】数学教学 算理 算法 说理课堂

作为小学阶段整数乘法计算的最后一部分内容，三位数乘两位数在算法和算理上与两位数乘两位数是一致的，因此理所应当要把两位数乘两位数的算法和算理向三位数乘两位数迁移。然而，苏教版数学教材在三年级下册编排了“两位数乘两位数”，间隔了整整两个学期直到四年级下册才学习“三位数乘两位数”，内容安排的时间跨度较长。所以算理与算法的理解，感受数学知识和方法的内在联系，实现旧知到新知的迁移就理所应当地成为“三位数乘两位数”教学中需要突破的重点任务，同时也是承前启后，为学生之后学习小数乘法时自主迁移运算方法打下基础，也为学习乘法分配律作好铺垫。下面以苏教版数学四年级下册“三位数乘两位数”的教学实例谈谈教师的实践和思考。

一、注重关联，探究算理

（一）创设情境，引导探究

月星小区有16幢楼，平均每幢楼住128户。月星小区一共住了多少户？

师：请大家默读题目，从题目中你获得了哪些信息？

师：可以怎样列式？

生1：可以列式128×16。

师：这和我们以前学过的乘法算式有什么不同？

生1：这是三位数乘两位数，我们以前学习过的是两位数乘两位数和三位数乘一位数的乘法。

师：对的，那你准备怎么解决这个问题？

生1：我打算用估算的方法先估计一下大概的结果。

生2：可以把第二个乘数拆开来算。

生3：我想先画一画寻找解决办法。

生4：我觉得可以借鉴以前学过的两位数乘两位数的竖式计算来尝试。

【思考】学生之前已经学过两位数乘两位数的笔算，已经感悟并习得了“先分开来算再相加”的数学思想和方法。对于两、三位数乘一位数也有一定的估算和口算的经验积累。可以先回顾两、三位数乘一位数和两位数乘两位数，以激活经验、唤醒旧知，为三位数乘两位数的新知学习做好准备。鉴于学生对两位数乘两位数的笔算方法这个新知的生长点掌握得比较熟练，可以大胆尝试把时间和精力重点放在新知的自主探究及算法的表征和算理的解释上，通过关联、类比和迁移提高学生的数学思维能力。故而，教师开门见山给学生直接呈现学材，创设情境，通过师生对话交流为下一步的自主探究做好准备。

（二）关联情境，悟理明法

任务1：尝试用圈一圈、画一画、算一算等方法表示你的想法。

师：请大家展示自己的方法，可以结合问题情境和示意图分别说明各自的想法。

生1：先算128×4=512，再算512×4=2048，就是把16幢楼分开来，每4幢楼圈成一圈，先乘4算出4幢楼一共有多少户，因为画了4个圈，所以接着再乘4，也就是16幢楼一共有多少户，这样就把三位数乘两位数的乘法变成了三位数乘一位数的乘法了。

生2：128×8=1024，1024×2=2048，我的算法和刚才的同学类似，每8幢楼圈成一圈，先算出8幢楼一共有多少户，画了2个圈所以再乘2，也就是拆成了先乘8，再乘2。

生3：我是口算的，128×10=1280，先算10幢楼一共有1280户，128×6=768，再算6幢楼一共有768户，1280+768=2048，最后合起来是2048户。

生4：我是用表格的方式分开来算的，最后也是要合起来。（见图1）

生5：我是联系两位数乘两位数的笔算，直接列竖式计算的，先用第二个乘数个位上的6乘128，得到768，再用十位上的1乘128，得到128，最后相加得到2048。（见图2）

师：你能结合题目的情境，解释清楚你这样算的道理吗？

生5：个位上的6乘128算的是6幢楼一共有768户，十位上的1乘128算的是10幢楼一共有1280户，合起来一共是2048户。

生6：可是，你的算式里面只写着128，这是为什么？

生5：因为十位上的1表示1个十，那么128就表示128个十，也就是1280，0省掉不写，所以得数的末尾和十位对齐。

【思考】笔算两位数乘两位数时，需要先把其中一个乘数分成两个部分，分别用个位和十位上的数与另一个乘数相乘，再把两次乘得的结果进行累加。三位数乘两位数的笔算方法与两位数乘两位数的笔算方法在本质上是一致的，所以探究与交流时，教师要求学生关联具体的问题情境和示意图，尝试用圈一圈、画一画、算一算等方法展示思考的过程，进行算理的解释，感受相关计算方法的内在联系，形成合理的认知结构。用“大问题”引领——“结合问题情境和示意图分别说明各自的想法”“结合题目的情境，解释清楚你这样算的道理”，开展互动、交流与探究。数学探究过程中不仅要知其然，更重要的是知其所以然。在探究算法时不能只关注结果，更重要的是关注学习的过程和知识的生长。关联实际的问题情境，学生不论是采用图形表征，动态和直观地表达每4幢楼圈成一圈，先算出4幢楼一共有多少户，再乘4算出16幢楼一共有多少户，把三位数乘两位数的乘法转化成三位数乘一位数的乘法，或是采用口算形式的文字表征，先分开来算再合起来，或者采用对竖式的每一步计算说明含义的算式表征，都是对算理作进一步的理解和解释，都是算理的探索和算法的概括有机融合、法理相依、理法相融的真实体现，这才是真正的说理课堂。

（三）剥离情境，关联旧知

师：大家说的都很有道理，我们来看看生3和生4的方法，你能结合这两种方法，说说竖式计算的道理吗？

生：都是先算10幢楼一共有1280户，再算6幢楼一共有768户，最后合起来是2048户。

师：如果离开具体的情境，从乘法的意义上来说，你还能解释清楚吗？

生：128×16表示求16个128是多少，他们都是分开来算的，先算6个128的和，再算10个128的和，合起来就是16个128的和。

师：现在你对三位数乘两位数的计算有什么新的看法？

生：同样是分开来算，生1、生2和生4的方法都不够简单方便，拆成整十数和一位数比较方便计算。

生：可以直接笔算，这样的话就和两位数乘两位数的笔算方法是一致的，都是先分开来算，再合起来……

【思考】结合学生不同的想法表达，进行展示与交流。进一步关联与比较、解释与评价口算和笔算共通的算理，又剥离具体的情境，回归到乘法意义本身来解释算理，用算理来支撑算法，让学生产生更加深刻的感受。既要知道怎么算，还要明白为什么这样算，这样算的道理是什么，从而更加明了竖式计算的道理就是计算不同计数单位的数相乘。再次关联已有的两位数乘两位数笔算的经验，进行新旧知识之间的类比迁移，链接新知生长点把算理解释得清楚到位。

二、分层评价，理法融合

层次1：完成计算，说一说先算什么，再算什么？（见图3）

层次2：笔算下面各题。（见图4）

要求独立完成，再单独展示交流。正例与错例分别展示。

层次3：比较大小，说一说其中的道理。（见图5）

层次4：下面的计算对吗？说一说你的想法。（见图6）

【思考】评价部分，分层设计。第一层次进行算理的解释练习，即每一步算的是什么，每一步的结果是怎么来的。第二层次进行例题的仿练，正例与错例分别展示，让学生明确常见、典型的错误，即用十位上的数相乘时得数的末尾没有和十位对齐，并从算理上进行解释和纠错，让学生真正明白“错在哪里”和“为什么错了”。第三层次可以是遮住中间的计算部分，比较两部分的大小，并说明理由，通过对算理的解释让学生明白为什么中间的得数A都小于B。第四层次进行遮住中间部分的改错练习，开放性较强，有利于学生深入开展研究与交流。例如第一个竖式计算，可以利用估算作出判断，进而得知最后的积不可能是三位数，也可以依据个位乘得的积一定是3、不可能是4等方法作出判断。通过生生交流、师生交流，反馈与评价及时有效，培养了学生专注与倾听的学习能力。通过提问、复述、概括等方法，引导学生提炼重点并进行反思或重组，强化对学生倾听能力的训练，培养学生的批判性和创新性思维，进一步提高其分析与推理能力。学生在独立思考和相互交流与评价的过程中进一步加深对算理的深度思考，有效地实现了算理和算法的深度融合。

三、持续迁移，拓展延伸

师：通过今天的学习，你对三位数乘两位数的笔算有什么感悟？还有什么疑惑？

生1：我学会了三位数乘两位数笔算的方法。

生2：我知道怎么算，还知道为什么这样算，每一步算的是什么。

师：例题的列式如果写成16×128，又该怎么计算？

生3：可以把128的个位、十位和百位分别乘16，再相加。

生4：这样分开来乘三次太麻烦了，可以调换两个乘数的位置，只需要乘两次就可以了。

师：你觉得我们以后还可能会研究几位数的乘法呢？

生5：三位数乘三位数、四位数乘三位数……

师：真的还有必要再学吗？

生6：不用再研究了，我发现这些笔算的方法是一致的。

【思考】小结学习收获时，抛出问题“例题的列式如果写成16×128，又该怎么计算呢？”。学生围绕问题再次展开交流，得出两个结论：一是交换位置再列竖式计算；一是根据三位数乘两位数的算法推理，分别用第二个乘数的各个数位计算三次再相加。接着引导学生继续想一想还会学习几位数的乘法，又该怎么计算，让学生领会到可以继续进行知识的迁移，理解多位数乘法的普遍适用性，延伸拓展以获得更多的感悟和更加合理完善的认知结构，提高自主探究和学习能力。

总的来说，计算教学看似容易实施，但是要做到揭示数学的本质和真正实现核心素养框架所要求的数学运算素养与能力的提升确实不易。教师既要立足课堂，又要让出讲台，学会“靠边站”，把课堂交还给学生，让学生真正成为学习的主人，从而打造计算教学以理驭法、理法相融的说理课堂，切实有效地实现算理和算法的深度相融。

【参考文献】

[1]李攀，张安梅.从“溯源而上”到“顺流而下”：“三位数乘两位数”教学实录[J].小学数学教师，2020（10）.

[2]纪永海.紧扣算理 以理驭法：以苏教版教材“三位数乘两位数”教学为例[J].小学数学教育，2020（Z4）.

[3]陈婷.实现理法融合 打造说理课堂[J].小学数学教育，2021（5）.