小学数学教学培养学生模型意识的策略研究

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，要让学生会用数学的语言表达现实世界，而模型意识是其中一项重要能力，因此，在平时的教学中渗透模型意识至关重要。文章从选择教学素材到让学生完整经历建模过程再到应用模型，对模型意识培养作策略研究，并提供了一种有效的途径。

【关键词】模型意识 素材选择 建模过程 应用模型

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。”想要让学生真正培养模型意识，需要经历一个长期的过程。教师要从生活中常见的问题出发，创设学生熟悉的情境；学生主动地探索情境，观察、分析后用数学语言表达相对应的模型，从而解决问题。教师要带领学生经历建模的全过程，帮助学生在小学阶段形成一定的模型意识，逐步体会数学建模过程，从而主动运用情境解决相关的实际问题。

一、培养模型意识需要精心选择素材

好的素材是学生进行数学建模的基础。熟悉的、典型的素材有助于学生充分经历数学建模全过程，从而形成一般的模式表达。

（一）典型的素材有助于建模

建立模型思想的本质就是对某个实际问题或者客观事物、规律进行抽象后，得到一种形式化的表达方式，对小学生来说，就是让学生体会到数学和生活的联系。为学生提供典型的素材有利于实现这一目的。

例如，用彩旗的素材讲间隔计数问题就非常适合，因为彩旗的素材可以把点和段明显地提供给学生，学生可以很好地理解点和段之间的关系。平时的教学中，教师可以让学生在纸上把插彩旗的情境表示出来，在操作的过程中，他们慢慢就会发现不同情况下彩旗数与段数之间的关系。这样，舍去彩旗问题的一些非数学属性的元素，就形成了纯数学的间隔计数问题，再以数学符号表示这种规律，进而渗透模型思想。

又如“乘法分配律”的教学，可以结合学校一年一度的汇操比赛聘请教师和家长代表作为评委这一素材展开，如图1。

教师引导学生根据图1中的数据信息提出数学问题并对问题进行筛选，再聚焦到研究评委区的总面积是多少、一共有多少评委两个问题上。学生在解决这两个问题的过程中，用到了两种方法引出相关的算式。一方面，学生及时提取了原有的学习经验，在解决实际问题的过程中初步感知了乘法分配律的存在；另一方面，学生在自主探究的过程中，体会到能用不一样的方法解决问题。此情境结构与乘法分配律的表达形式如出一辙，提供了直观的材料，便于后期学生建构模型，是学习此内容的典型素材。

总之，在义务教育阶段的数学学习中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式等都是数学模型。教师应该努力寻找与数学模型契合的现实原型。这样的现实原型有很多，因此要筛选出合适的、直观的现实原型，即典型素材，这样才有利于学生建立数学模型。

（二）熟悉的素材有助于建模

弗赖登塔尔认为，数学化的对象应是学生熟悉的现实，而不是成人熟悉的现实。因此，在教学中教师要选用学生熟悉的素材，帮助学生顺利地建立数学模型。

1.现实生活中学生经历过的真实事件

发生在校园生活、家庭生活、社会生活中的真实事件都是学生熟悉的素材。例如，把18块糖平均分给3个小朋友，每个小朋友能分到几块？学生在解决日常生活中遇到的“分东西”问题时，通过操作活动，会探索出结果。用分配的方法是要在其中找到3个相等的部分，用比例的方法则是要解决“一次分走3块糖，一共能分多少次”。这两种方法是密切相关的：分配的方法是分成了3个相等的部分，比例的方法则是每分一次，糖的总数以3的倍数的形式减少。学生在解决“分”的问题时，往往喜欢多次做减法。但是原来的“分糖”问题已经和学生熟悉的除法很接近了，虽然还需要一些调整与优化，但核心思想与方法已经被发现了。教学中，教师可以寻找学生熟悉的真实素材，学生会更感兴趣，这有利于他们基于经验与直观感悟抽象出数学模型。

2.学生熟悉的故事

童话故事、寓言故事、神话故事等虚拟的故事也是学生熟悉的素材。例如，教学“商不变的性质”时，教师常常用到“猴爸爸给小猴分桃子”的故事：6个桃子分给3只小猴，小猴不高兴；60个桃子分给30只小猴，小猴高兴地笑了。学生也笑了，但在笑过之后，教师还需要引导学生思考：为什么大家都笑了？学生积极思考，主动观察、分析、比较、抽象，最终概括出商不变的性质。这个故事很有趣，本身又蕴含着总数、份数、每份数的关系，还蕴含着商不变的性质这一数学模型。熟悉的故事素材，能促进学生主动参与数学活动，从而逐步抽象出数学模型。

总之，学生熟悉的素材简洁、易懂，容易使其产生亲近感，便于激活其已有的经验，因此贴近学生生活的真实素材更具有现实意义。贴近学生生活的典型素材，能引发学生思考并提出问题，具有挑战性和思维价值，能激发学生对数学知识的渴求、探究客观世界的欲望以及对数学发自内心的热爱。这些都是积极的情感体验。需要明确的是，教师要从学生熟悉的素材中精心筛选具有直观性的现实原型，这有利于学生主动建模。

二、培养模型意识要经历建模过程

（一）抓住建模起点，鼓励学生发现并提出问题

数学建模就是通过建立模型的方法来解决问题的数学活动过程。这一过程可概括为问题情境、建立模型、求解验证、应用拓展四个环节。

2022年版课标指出，模型意识是属于用数学的语言表达现实世界的方式的一种。因此建模离不开生活情境，用数学的眼光观察生活情境并发现和提出问题是数学建模的起点。例如，前面的“乘法分配率”教学案例中，在学生学习乘法分配律时，结合熟悉的、典型的学习素材，教师鼓励他们观察情境图，看看能发现哪些数学信息，能提出什么数学问题。熟悉的生活情境容易唤醒学生的思维，同一个问题情境还有着不同的思考方向，这就是一个好情境。学生可能从人数出发提问，也可能从面积出发提问，可能提出以下问题：家长评委有多少？教师评委有多少？一共有多少评委？家长评委区的面积是多少？教师评委区的面积是多少？评委区的总面积是多少？

“一共有多少评委？”“评委区的总面积是多少？”两个问题的提出水到渠成，是学生思维的自然流露，为之后的研究指明了方向，学生乐于接受。抓住建模起点，提出有价值的研究问题，能引导学生走上自主探究之路。

（二）关注建模抽象，鼓励学生尝试自主表达

学生提出了有价值的数学问题，教师要引导学生自主探究发现，逐步抽象概括。例如，前面的案例中学生在学习乘法分配律时，提出了“一共有多少评委？”和“评委区的总面积是多少？”两个问题。教师要鼓励学生自主探究，经历建模的过程，可以按以下步骤进行：

（1）要解决这两个问题，你怎么想的？把你的思考过程写在学习单上。

A.一共有多少评委？

B.评委区的总面积是多少？

（2）观察每个问题中的两个算式，你有什么想法？

两个算式解决的是同一个问题，思路不同，结果相同，可以用等号连接，就形成了一个等式。

（7+4）×3=7×3+4×3

（9+6）×5=9×5+6×5

（3）观察等号左右两边，你有什么发现？有什么疑问？

等号两边都有加法和乘法，左边是两个数的和乘一个数，右边是两个加数分别与因数相乘，再相加。学生逐渐开始思考：这两组等式有这些特征，是偶然现象，还是有一定规律呢？

（4）像这样的等式是否都有这个规律？

举例验证。可以通过计算左右两边的算式得出结果，也可以列举生活中的事例来解释，还可以用点子图来说明。

（5）为什么会有这个规律？

揭示本质。在举例验证的基础上，学生思考为什么会有这个规律。可以通过解读运算意义来理解，从而揭示规律的本质。

（9+6）×5=9×5＋6×5，左边是15个5，右边是9个5加6个5，也是15个5。

（6）你能想办法把我们的发现表示出来吗？

抽象出模型。面对现实情境中的数学问题，学生的生活经验不同、思维水平不同，表达方式也不同。

情境表达：（上衣的价格+裤子的价格）×套数=上衣的价格×套数+裤子的价格×套数

活动表达：小括号像房子，括号里是主人，括号外是客人，客人和主人分别握手，应该怎样握？

符号表达：（□＋△）×○=□×○＋△×○

字母表达：（a＋b）c= ac+bc

文字表达：两个数的和与第三个数相乘，等于这两个数分别与第三个数相乘，再把所得的积相加。

不同的表达方式表示的是同一个意思，学生可在互相借鉴中寻找既简洁又具有概括性的表达方式。在这样的过程中，学生有自己的独立思考，又有同学的资源共享，在观察比较中抽象出字母表达式，凸显了用字母表达的优势：简洁清晰，有一般性。

（三）重视建模验证，鼓励学生呈现多种素材

有了数学模型，还要重视模型的验证。教师可以呈现多种素材，把它放到更广阔的空间里去实践。例如，乘法分配律可以放到生活领域去检验：买衣服时会用到上衣、裤子和套数的关系；吃套餐时会用到主食、饮料和套数的关系；也可以放到计算领域去检验： 12×4可以看成（10+2）×4，12×14可以看成（10+2）×14。还可以放到几何领域去检验：求①②两部分合起来的大长方形的面积也可以说明乘法分配律的合理性。（见图2）

通过多种素材验证模型的合理性，突出了模型应用的广泛性，凸显了模型可以解决一类实际问题的本质属性。

要使学生真正对模型思想有所感悟，需要经历一个长期的过程。在这一过程中，学生总是从相对简单到相对复杂、从相对具体到相对抽象，逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成模型意识，发展数学思维。

三、培养模型意识要重视模型应用

在建模后，教师要让学生运用模型解决问题，并让他们运用模型去解释实际问题，让学生对模型理解更深，体会模型的价值意义。

教学中教师可以鼓励学生在现实情境中解释数学模型。“速度×时间=路程”是小学数学中的一个基本模型，学生经历抽象、概括得到这一模型后，教师可以鼓励学生应用该模型解释生活中的一些现象。例如，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？学生通过交流讨论，最终发现光的传播速度比声音快，就像赛跑一样，同样的路程，跑得快的先到终点，所以我们总是先看到闪电，后听到雷声。

总之，在建立模型之后，经常让学生利用模型解决问题，有助于学生对模型的建构，能让他们体会模型的价值；有助于学生对知识的建构，能让他们增强学习的信心与信念，提升创新能力。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]赵世龙.小学数学模型意识培养常态化实施的研究[J].中小学课堂教学研究，2024（2）.

[3]马妍妍.注重整体建构 培养模型意识：以《植树问题》教学为例[J].小学教学设计，2024（14）.

[4]孙保华.找准时机，渗透模型意识[J].教育视界，2023（14）.