关注知识体系建构 打造高效复习课堂

高峰君

［摘  要］ 在初中数学复习教学中，教师应重视挖掘知识的衔接点、生长点，有意识地引导学生将零散的知识串联起来，进而打通各章节知识间的内在联系，让学生通过经历知识、方法、思想的提炼、补充、优化，更好地建构知识体系和方法系统，提升学生的数学素养.

［关键词］ 知识体系；内在联系；架构；高效复习

问题提出

复习课在数学教学中是必不可少的，其是巩固知识、强化技能、提炼数学思想方法、建构知识体系的重要途径. 在新知教学后，教师有必要通过阶段性复习、章节复习等帮助学生进行知识的梳理，以此优化学生已有的知识结构，提升学生解决问题的能力. 在复习教学中，教师习惯于进行知识的罗列和例题的强化，使得复习课堂变成了新授课、讲评课、培优课. 另外，在复习教学中，大多数教师喜欢逐章逐节复习，这样容易忽视不同章节之间的联系，影响知识体系的系统化建构，从而影响学生的长远发展. 因此，在复习教学中，教师应重视引导学生挖掘知识间的内在联系，主动建构知识体系，提炼数学思想方法，以此打造高品质的“后建构”课堂. 笔者以“由所想……”为例，谈谈对期末复习教学的一些认识和理解，以供参考.

教学实施与分析

1. 问题驱动，初步建构

问题1：看到，你能想到什么？

师生活动：教师引导学生根据进行充分的联想. 大多数学生由想到了无理数，其近似值为1.414. 在此基础上，教师顺势引导学生进行“实数”相关知识的整理与归纳. 也有学生由联想到了腰长为1的等腰直角三角形，其斜边长为. 教师引导学生将该直角三角形进行翻折、旋转等变换，由此将其与全等三角形、轴对称图形等相关知识建立联系，逐渐形成以为中心的知识框架图（如图1）.

设计说明  该环节教师以为主线，让学生充分联想，积极交流，将相关知识有效地串联在一起，为后续的研究和知识体系的建构打下了坚实的基础. 同时的起点低、入口宽，符合学生的认知规律，易于调动学生参与课堂的积极性，为学生的全面发展提供了前提.

2. 活动探究，深度理解

问题2：如果用“二分法”来估算的近似值，你会吗？它的小数部分是多少？（精确到0.001）

师生活动：本环节不是考查学生是否掌握了一些常用无理数的近似值，也不是简单地考查“二分法”的概念，而是引导学生用“二分法”解决问题，提高学生分析和解决问题的能力. 教学中，教师先让学生思考的大致范围，然后呈现学生的思考过程，其过程大致如下：因为12<2<22，所以是一个大于1且小于2的数；在此基础上，进一步缩小范围，其上限与下限的平均值的平方为2=1.52=2.25，所以1<<1.5；按照该方法继续缩小范围，其取值范围的上限与下限的平均值的平方为2=1.252≈1.56，所以1.25<<1.5；以此类推，逐步缩小范围，按照要求得到的近似值为1.414，其小数部分为0.414，即-1. 利用二分法得到的近似值后，教师鼓励学生课后利用“二分法”来估算、的近似值.

设计说明  根据已有经验，学生可以直接给出的近似值，但是对其为何是1.414势必含糊不清. 要知道复习教学不是新知识教学的简单重复，而是在巩固与强化基础上的拓展与深化. 这样以学生最近发展区为出发点，让学生估算的近似值，能让他们充分感受无理数的无限性，促进原有知识的巩固、优化与发展. 教学中，教师要有意识地引导学生将的小数部分的近似值0.414与准确值-1相比较，明确两者的区别与联系，培养学生思维的严谨性与深刻性.

问题3：如何证明是无理数？

师生活动：教师让学生重新阅读教材中“证明是无理数”的相关内容，初步理解反证法的基本步骤. 学生阅读后，教师让学生简述证明过程，提炼关键点. 从学生的反馈来看，在反证过程中，学生对假设为有理数而写成的形式难以理解（m，n互质）. 基于此，教师组织学生对其进行深入的探究，以此消除学生之所惑，攻克“证明是无理数”这一难题.

设计说明  教学中，教师组织学生自主阅读材料，其作用有如下几点：一是让学生初步理解反证法，掌握反证法的基本步骤；二是深化对无理数与有理数定义的理解；三是回归教材，充分发挥教材的功能，让学生通过自主阅读提炼知识与方法，培养学生良好的自主学习能力.

3. 渗透文化，激发兴趣

简述勾股定理、商高定理和毕达哥拉斯定理的由来，让学生体验数学是一个发展变化的过程，引导学生用发展的眼光看待数学，培养学生敢于质疑、敢于探索的品质.

设计说明  数学文化是数学教学的重要组成部分，其在激发学生探究欲，培养学生创新意识等方面发挥着重要的作用. 同时，教学中通过渗透数学文化，可以很好地调节课堂气氛和课堂节奏，从而促进高质量课堂教学活动的落实.

4. 活动探究，迁移运用

活动1：如图2，将A4纸ABCD沿EC折叠，使BC边落在CD边上. 沿过点C的直线继续翻折，使CE边落在直线CD上.

问题4：如图3，若点E与点D恰好重合，且BC=1，求CD的长.

活动2：用直尺测量A4纸的长和宽.

问题5：计算A4纸长与宽的比. （精确到0.001）

师生活动：教学中，教师预留时间让学生动手操作，不难发现若按活动1步骤操作，则当点E与点D恰好重合，CD与CE恰好重叠，可知A4纸的长与宽之比为：1. 按照活动2步骤操作，通过测量可得A4纸的长和宽分别约297 mm和210 mm，由此得到A4纸的长与宽之比约为1.414. 这样通过具体操作，不仅让学生发现了A4纸中蕴含着的秘密，而且可以让学生更好地感悟近似值与准确值的区别与联系. 在此基础上，教师还可以让学生通过折叠和测量探索A3纸中蕴含的秘密，然后顺势介绍A系列纸的共同特点，即其长和宽之比为 ∶ 1. 根据A系列纸的这一共同特征，引导学生与相似建立联系，由此为后续学习埋下伏笔.

设计说明  教学中，教师让学生通过动手折、动手量等活动经历A4纸长宽比的探究过程，充分挖掘A4纸中蕴含的秘密，进一步理解近似值与准确值之间的区别与联系. 在动手折的过程中，将全等三角形、轴对称、勾股定理等相关内容融于一体，充分展现了数学的探究性、趣味性，有效地激发了学生的学习兴趣. 同时，在此过程中，教师有意识引导学生探究A3纸的长宽比，由此引出相似的相关特征，为接下来探索相似做好充足的知识储备. 另外，以生活实例为切入点，让学生深刻体会数学无处不在，充分感知数学在生活中的价值，提高学生的学习积极性.

5. 深度探究，拓展延伸

问题6：如图3，当点E与点D恰好重合时，若BC=1，AG是否可求？

师生活动：教学中，教师预留充足的时间让学生思考，并鼓励学生尝试应用不同的方法解决问题.

解法1：根据翻折性质易得△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=45°，由对称性可得四边形AECG与四边形A′DCG完全重合，所以∠A′DC=∠AEC=135°，从而得到∠A′DG=45°，因此△A′DG是等腰直角三角形，有DG=A′D=AE=（-1）=2-. 所以AG=AD-DG=1-（2-）=-1.

解法2：设AG=x，则DG=1-x. 在Rt△A′DG中，由勾股定理得x2+（-1）2=（1-x）2，解得x=-1.

呈现两种解决问题的方法后，教师预留时间让学生对以上两种方法进行对比分析，寻找最优解题方法，培养学生的最优意识. 学生理解并掌握以上两种方法后，教师引导学生进行变式探究，以此提高学生解决问题的能力.

变式：如图4，在图3的基础上延长CG交BA的延长线于点M，求AM的长.

师生活动：教学中，教师鼓励学生从不同角度分析，通过互动交流得到如下解法.

解法1：如图4，连接DE，则CM垂直平分DE，易证△ADE≌△AMG，故AM=AD=1.

解法2：由折叠可得∠ECG=∠AMC，故△ECM是等腰三角形，于是有AM=EM-AE=EC-AE=-（-1）=1.

解法3：如图5，以BC所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴建立平面直接坐标系，则C（1，0），G（-1，），根据待定系数法易得直线CG的函数关系式为y=-（+1）x++1，从而求得M（0，+1），所以AM=OM-AO=+1-=1.

设计说明  以A4纸折叠为线索，引导学生从不同角度分析，寻求不同的解决问题的方法，通过一题多解、一题多变有效地开阔了学生的视野，发散了学生的数学思维，同时促进了对轴对称、全等三角形、勾股定理、一次函数等相关知识的强化，这样通过对A4纸中蕴含的秘密的深入探究，将看似相互独立的知识建立起了联系，充分展示了数学知识间的关联性，有利于学生认知结构的优化和数学迁移能力的提升. 另外，教师有意识地告诉学生在解决此类问题时，还可以运用相似的知识来求解，以此为后续相似知识的学习留下悬念，激发学生的求知欲.

6. 整体建构，编织成网

问题7：结合以上探究过程及相关板书，请大家想一想，本节课我们主要复习了哪些内容？你能概括本学期各章节主干知识的结构图吗？

问题8：从以上章节内容的分析来看，是基于哪些数学思想的整体建构？

问题9：通过本课的复习，你有哪些收获？谈谈你的心得体会.

师生活动：教师让学生以小组为单位进行知识的总结归纳，在图1的基础上进行进一步的拓展延伸，以此逐渐完善学生的认知体系. 当然，在学生互动交流过程中，教师应充分发挥其启发者和指导者的作用，根据课堂生成进行适时补充与调整，以此帮助学生将零散的知识串联成线，编织成网，逐渐形成整册教材内容的知识结构图. 在此基础上，教师引导学生从整体的视角进一步分析，将不同章节划分为不同的领域，体会“数”“形”结合思想方法在解题及知识整体建构中的价值，提高学生的数形结合意识. 另外，在此环节，教师将主动权交给学生，让学生提出自己的所思、所想、所惑，以此让学生更好地了解自己，促进学生认知结构的优化和解决问题能力的提升.

设计说明  教学中，教师预留时间让学生思考交流，引导学生将与相关联的内容罗列出来，组织学生进行知识的梳理与方法的提炼，充分发挥“后建构”课堂的优势，帮助学生建构有逻辑、有联系、承前启后的整体结构体系，提高复习教学的有效性.

教学思考

1. 化零为整，建构知识网络

复习教学中，教师应将课堂教学内容置于整体知识体系当中，让学生充分感受知识的结构与关联，从而促进知识网络的建构. 要实现这一目的，教师应认真研究教材、研究学生，寻找知识的衔接处及生长点，从而将那些独立的、零散的、碎片化的知识串联起来，建构整体知识网络. 如在本课教学中，教师给出后，学生首先从“数”的角度出发，联想到了无理数、近似数等与“实数”相关的知识；紧接着，学生又从“形”的角度认识，联想腰长为1的等腰直角三角形的斜边长，在此基础上，通过翻折、旋转等变换得到边长为1的正方形的对角线长；然后，教师引导学生探寻A4纸中蕴含的秘密，学生通过动手折、动手量、用心算等活动发现其中蕴含的秘密后，教师又给出相应的练习和变式题进行深入的探究，以此通过问题的解决将全等三角形、轴对称、勾股定理、一次函数等知识建立了联系. 这样通过对的深入探究，打通章节间的内在联系，逐渐形成系统化、条理化的整体结构体系.

2. 关注过程，发展数学思维

数学知识既是一种传承，又是一种发展. 教学中教师不仅要关注结果，而且要关注过程，要让学生知道知识从哪里来，又到哪里去，让学生通过经历知识的形成、发展、关联、衔接等过程发展数学思维，提高自主探究能力. 如在本课教学中，教师引导学生利用“二分法”推导的小数部分，让学生通过经历其推导过程感受无理数的无限性，体会近似值和准确值的区别与联系，促进知识的巩固、优化和发展，提高学生的数学水平.

3. 以生为主，提升学习能力

在传统复习教学中，部分教师过度强调练习的价值，常常将复习课上成练习课，这样的复习课容易增加数学的枯燥感，降低学生的学习兴趣. 其实，在复习课前，学生已经掌握了一定的知识与方法，因此教学中教师应学会放手，为学生预留一定的思考与探究的时间，引导学生经历问题发现、提出、分析和解决的过程，以此促进知识的深化和能力的提升. 在本课教学中，教师没有直接进行知识的罗列，而是从学生熟悉的无理数出发，预留时间让学生联想、交流、梳理、建构，引导学生逐渐形成解决问题的数学思想和关键能力.

总之，期末复习课中，教师要以学生已有认知为起点，重视揭示知识的内涵与本质，善于挖掘知识间的内在联系，通过恰当的引导帮助学生形成完善的知识体系，切实提高期末复习的效率.