新课标背景下数学实验教学的探索与研究

田文迪

［摘  要］ 数学实验能有效启发学生的思维，让学生通过“做中学”不断积累经验，提升学习能力与创新意识. 研究者主要从实物验证型实验、模拟思考型实验与探索发现型实验着手展开分析，并分别从如下三方面谈一些思考：实验目标注重科学性，内容选择具有实效性，实验方法具有探索性.

［关键词］ 实验；教学；新课标

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“新课标”）提出：想要让学生从真正意义上理解并掌握数学知识，最好的方式就是将知识与学生的生活经验以及其他学科知识关联，如实验操作活动的开展，可让学生通过自主操作、观察、分析，抽象出相应的知识. 数学实验是指手脑协作学习的过程，一般会用到一些辅助工具，如剪刀、模型、测量工具等，学生通过实验探索提升解题能力，发展创新意识.实践证明，数学实验不仅能深化学生对知识与技能的理解，还能让学生发现与提出问题，为发展问题意识创造条件，这也是创新思维形成的依据.

实验设计的基本方法

实验设计是指为了让学生自主检验某种猜想或结论的正确性，规划实验的过程. 究竟该如何设计数学实验呢？考虑到数学是思维的体操，因此在设计数学实验时，就应以思维的发展作为首要目标，即在突出学生思维参与度的基础上，借助相应的科学方法引发学生的探索，为发展数学思维做好铺垫. 学生在实验过程中产生猜想，而后验证猜想，从而获得有待于严谨论证的命题或解题思路. 常见的实验方法有如下几种：

（一）实物验证型实验

实物验证型实验是指基于实物的直观特征进行验证性的实验，此类实验是帮助学生验证已得结论或猜想正确与否的重要方式，一般遵循“提出问题—动手操作—观察分析—结论验证”四个环节. 学习过程中出现思维障碍在所难免，这些障碍主要缘自对实物的观察. 教师将这些障碍设置成问题，则能引发学生的思考，而解决问题的主要措施为科学猜想与合情推理. 实物验证型实验是验证猜想和判断正确与否的基本方法. 它可让一些数学现象直观呈现在学生面前，让学生从中感知结论的正确性，从而构建完整的认知体系，形成良好的数学思维.

观察是思维的起点，也是形成感性认识的源头，任何知识的形成都从观察开始. 观察数学现象可获得直观的感性材料，学习者通过对这些材料的抽象概括与推理等，可对所观察的事物从感性认识逐渐上升到理性认识. 鉴于初中阶段学生所接触到的数学知识大部分都有直观背景，因此借助数学实验可还原知识的形成背景，让学生在直观中抽象并建构新知. 因此，直观、简单易操作与思维起点低是实物验证型实验的基本特点.

案例1  “多项式乘多项式”的实验设计

设计目的 引导学生亲历操作、观察、分析与思考过程，对“多项式乘多项式”形成直观的感性认识，以帮助学生更好地理解其运算法则.

实验准备 准备若干张图1所示的长方形卡纸.

实验要求 ①四种不同规格的卡纸各取1张，拼成一个大长方形.

②怎样用式子来描述拼接而成的长方形（见图2）的面积？写出结论并交流.

③尝试用不同的方法来计算拼成的大长方形的面积. 若将图2视为一个长方形，面积为（a+b）（c+d）；若将图2视为四个小长方形，总面积则为ac+ad+bc+bd，由此可以发现什么？

④请从运算的角度来推导获得的结论.

⑤通过获得的结论来计算式子（a+b）（c+2d），而后拼图验证计算结果是否正确.

拼图操作的实验，简便、直观，学生容易上手. 一个小小的实验就将抽象的多项式与多项式相乘的运算法则直观地展示在学生面前，这是促使学生从感性认识转化到理性认识的过程. 验证过程直接呈现在学生面前，让学生对所获得的结论有着深刻印象，为新知建构夯实了基础. 由此可见，实物验证型实验完美地诠释了归纳总结与演绎的过程，强化了学生的学习经验，增强了学生对数学知识的体验与感悟.

（二）模拟思考型实验

模拟思考型实验是指通过对情境的模拟，让学生基于情境背景展现真实的心理状态与行为反应，并对结果进行探究的过程. 有些数学知识的探究，纯粹凭借观察无法获得结论，模拟思考型实验则能人为地控制研究对象，让学生模仿实验的一些条件进行操作，发展思维，为知识的建构夯实基础.

新课标认为新课改背景下的数学教学设计可借助先进的信息技术手段整合教学内容，通过对实物模型的模拟，开发学生智力，发展学生思维，提高教学实效. 教学过程中，若遇到一些动态且难以想象的问题，教师可带领学生借助计算机模拟真实情境，呈现实物模型，促使学生从中开阔思维，进而顺利解决问题.

案例2  “有理数的加法”的教学

有理数是学生到初中阶段最开始接触的内容，是数的扩充，对于学生而言确实偏抽象. 为了让学生从根本上掌握有理数加法的运算法则，笔者在课堂中设计了如下教学过程：

问题 已知A、B两个球队进行足球比赛，A队位于主场时，以4 ∶ 1赢3个球获胜；位于客场时，以1 ∶ 3输了2个球，将两场比赛累计起来计算，A队净胜1个球. 若A队于主场以1 ∶ 3输2个球，于客场以4 ∶ 1赢3个球，两场比赛累计A队净胜1个球. 请用算式表示以上两种数量关系.

学生初次看到本题，感到无从下手. 为了有效启发学生的思维，让学生从模拟实验中感知数据的变化情况，笔者设计了如下实验操作：

实验1 将笔尖置于数轴的原点位置，先沿着数轴的正方向移动3个单位，再往反（负）方向移动2个单位，观察此时笔尖所处的位置是什么？画图并用算式表示.

实验2 将笔尖置于数轴的原点位置，沿着数轴的负方向移动2个单位，而后再向正方向移动3个单位，观察此时笔尖所处的位置，并画图用算式表示.

该实验根据问题改编而来，应用数形结合的方式引导学生通过笔尖的移动来感知问题所表达的本质，体会点的运动方向所代表的实际意义，以及移动的距离对结论会产生怎样的影响，从而感悟有理数加法的运算法则.

实际上，有些问题被数学客观条件所制约，导致问题的动态性、客观性难以通过想象刻画出来. 借助实物模型或计算机，则能创设一个良好的实验环境，让学生在特定的环境中亲历动手操作，直观感知数学事物的客观现象，并且灵活判断、描述、预测这些现象，积累活动经验，为解决问题服务.

（三）探索发现型实验

探索发现型实验是指从事某项开创性的研究工作时，为未知事物的现象、规律、性质所创设的实践活动. 这种实验是数学教学的重要组成部分，对帮助学生建构新知，掌握知识本质具有重要意义. 同时，这种实验方法还能有效促进学生的观察与思维能力的发展，对提升数学探索精神具有重要价值.

数学中存在很多问题需要学生自主分析与计算，学生可从探究发现型实验中发现数学事物间存在的规律，提出自己的猜想，并加以验证. 因此，结合学生的实际认知水平设计恰如其分的实验活动，不仅能帮助学生提炼从特殊到一般的数学思想方法，还能带领学生通过实验感知数学模型思想.

案例3  用正方形纸板制作无盖的长方体纸盒使得容积最大

探究问题 如图3，是不是剪下的小正方形的边长x越大，最终形成的无盖长方体的纸盒容积就越大？

实验设计

（1）写出最终所形成的长方体纸盒的容积与剪掉的小正方形边长x的关系式.

（2）用边长a为20厘米的正方形硬纸板制作无盖长方体纸盒，若剪下的小正方形的边长x分别取1～9（厘米）时，请求出最终制作而成的纸盒容积. 分析取不同的值时，容积的变化规律.

（3）尝试用边长a为20厘米的正方形纸板制作出容积尽可能大的长方体无盖纸盒. 分析是不是剪下的小正方形边长越大，最终制作而成的长方体纸盒的容积就越大？

（4）探索剪下的小正方形边长为多少时，最终制作而成的长方体纸盒的容积最大？说说你的猜想.

（5）尝试借助计算机进行实验操作，验证猜想.

教师知道剪下小正方形的边长为n/6时，所制作的长方体纸盒有最大容积. 但初中阶段的学生确实难以发现这个数据，更谈不上理解了. 因此，通过剪纸、折叠实验的设计，可让学生通过对不同数据的观察、度量与计算，发现其中的奥秘，最终发现问题的本质.

此过程中，探究发现型实验设计让学生不仅亲历了知识的形成过程，还从真正意义上理解了概念本质. 借助实验来探索未知，揭露数学规律是发展数学抽象思想的根本. 这样的过程也是开阔学生视野，彰显数学魅力的过程.

数学实验设计的思考

（一）实验目标注重科学性

数学实验教学的核心目标在于发展学生的数学核心素养，这是体现课堂基本理念的表现. 我们在设计实验时，需注重科学性原则，避免出现将数学实验等同于物理、化学实验的情况，更不可让实验过程成为优等生的专场，而应结合所有学生的认知水平与思维状况，设计合理的目标.

从学生的认知发展规律来看，数学直观是指在一定事物的作用下，学生在头脑中对教学内容产生感性认识的过程. 虽说直观是促使感性认识产生的基础，但它也是思维的出发点，是将感性上升到理性的开端. 实验设计的本意就是要带领学生从直观中发现问题的本质，揭露其中的规律，发展思维. 也就是通过实验可以获得什么？如何获得？怎样验证等.

基于实验目标来分析，数学实验需着重关注学生的个体差异与思维发展情况. 数学实验不仅有外显的操作活动，还有思维层面的活动. 实验过程可通过几何体模型或计算机等工具，揭露知识本质与规律，学生从中获得的是成果的鉴定与价值的评估，因此这是一种发现，是创新，也是成果. 但每个学生的思维水平受家庭、教育等综合因素的影响，有着显著的差异，那么数学实验就要关注每个学生的具体情况，将新课标所倡导的“让每个学生都能在数学学习中获得不同程度的发展”落到实处. 因此，数学实验需秉承多元价值标准，而非统一的要求.

（二）内容选择具有实效性

有些教师在数学实验中，只关注学生的活动情况与实验本身，却忽略了实验的“数学化”过程，导致无法顺利揭露数学知识本质或数学思想，那么这种设计充其量只是一种“注入式”模式，与如今的新课标要求背道而驰. 甚至有些教师为了“实验”而“实验”，不管什么教学内容都要带领学生动手折叠、剪拼等，其实这是对数学实验的片面理解，并不能让数学实验起到该有的作用. 真正意义上的数学实验是关注教学“实效性”的实验，具有“数学化”的过程.

弗赖登塔尔提出：概念教学并不一定要按照其发展顺序不加删除地教，而应引导学生主动去发现. 课堂教学面对的是全体学生，并不是所有内容都适合用实验法去探究，有些通过自主阅读就能掌握的知识，就不需要耗费时间去做实验. 根据教学实际需求合理安排实验内容，展开实验活动是提高教学效率的根本.

（三）实验方法具有探索性

数学是一门严谨的学科，任何知识的建构都离不开精确的探索与研究. 数学实验的开展是为了揭露知识本质，那么除了目标的科学性与内容的实效性，实验方法也必须恰当. 不论哪种实验方法，都需具有一定的探索价值. 实验是联系理论与实践的桥梁，是验证或推翻猜想的纽带，是发现新知，实现创造的基础. 学生通过数学实验可发现知识本质与数学规律，因此具有探究意义的探究方法是推进数学学科发展的原动力.

总之，数学实验的设计会随着研究的变化而变化，教师应充分了解学情与知识的发生发展情况，有目的地加工已有的素材，挖掘出合适的实验成分，催生学生的思维，让每个学生都能在实验中获得不同程度的发展.