指向核心素养的初中数学大单元教学设计的实践与研究

徐彬

［摘  要］ 指向核心素养的大单元教学设计需整合教材内容，根据学生实际认知水平设计教学方案. 研究者从大单元教学设计的前期准备出发，以“完全平方公式”的教学为例，分别从如下几方面谈谈实践与感悟：旧知复习，新课导入；新知构建，形成体系；举例应用，巩固提升；背景拓展，深化理解.

［关键词］ 核心素养；大单元；教学

对知识点的“了解—识记—理解—应用”已经无法满足核心素养背景下的数学教学目标，新课标引领下的数学教学将培养学生的关键能力、数学品格与价值观等作为教学的主要任务，这就要求学生关注知识间的联系，能用所学知识来正确、持续地处理问题. 大单元教学也在这种背景下诞生.

大单元教学是指从知识层面出发，将具有一定联系的小单元整合在一起，形成一个整体性的大单元来实施教学，学生在这种背景下从整体上把握知识结构，理解知识间的联系. 那么，究竟哪些内容适合应用大单元教学呢？实践发现，“完全平方公式”这部分内容相对独立，应用大单元教学效果颇佳.

大单元教学设计的前期准备

1. 怎样确定大单元

以学期大单元的确定为例，一般需结合如下三点来确定大单元：①认真研读教材，观察知识结构，弄清课标要求与学生的实际认知水平，借助可利用的教学资源在规定课时内确定单元数量；②根据数学核心素养所提出的要求，分析大单元名称与逻辑关系，思考是以大项目、大问题、大观念，还是以大任务来统率教学；③一个大单元至少要对接一个明确的核心素养，并按照某种逻辑、项目、观念或问题将知识结构化.

2. 如何设计大单元

当确定了学期大单元的数量与名称后，教师就可带领学生设计教学方案，这种方案讲究结构性与完整性. 一般情况下，设计大单元方案时需交代清楚如下六个问题：①名称与课时；②教学目标；③评价任务；④学习过程；⑤练习训练；⑥学后反思. 满足以上六点的教学方案体现了大单元教学的专业性，整个过程都以学生为中心，从希望学生“学会什么”转化为“何以学会”，这为发展数学核心素养奠定了基础.

3. 任务的介入方法

传统的双向细目表、识记、理解或简单应用等都无法从真正意义上发展学生的数学核心素养. 指向核心素养的数学教学体现的是真实学习，需将真实的情景与任务介入课堂中，启发学生的思维. 这里的“真实”存在如下几层意思：①将真实世界直接应用到课堂中，践行数学生活化的理念；②践行“知行合一”的学习理念，让学生体悟知识源自真实情境；③让学生实实在在地“做事”是评估核心素养的主要措施.

实施措施

1. 旧知复习，新课导入

问题1请大家回顾多项式与多项式相乘的法则，说一说是怎样用字母表示的？又是如何用几何图形表示的？

此为引导学生提取旧知的问题，简单多项式与多项式相乘的运算法则用字母表示为：x+p（y+q）=xy+xq++pq+py；用几何图形表示见图1.

问题2图1所展示的四个长方形，若将其中一个转化成正方形，也就是当x=y时乘法公式会不会发生变化？怎样变化？

此问的结论为：在x=y的时候，乘法公式则转化为（x+p）（x+q）=x2+qx+pq+px=x2+（p+q）x+pq.

设计意图这两个问题意在引发学生回顾整式乘法法则，大部分学生并没有意识到这两个问题对研究完全平方公式具有什么作用，教师以这两个问题作为教学的铺垫，可为接下来的教学奠定基础.

问题3请分别结合如下条件求（x+p）（x+q）的值，同时分析p，q的值.

①p=1，q=-1；②p=，q=-；③p=-2m，q=2m；④p=-m，q=m.

设计意图学生自主解决此问时，会发现每一个结论均以平方差的形式呈现，当p，q互为相反数的时候，获得平方差公式为（a+b）（a-b）=a2-b2. 显然，此问有效揭露了教学主题，为接下来的探索明确了方向.

2. 新知构建，形成体系

问题4p，q互为相反数属于特殊情况，若p，q相等，会怎样呢？

解析若p=q，（x+p）（x+q）则可转化为完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，让学生体会（a+b）2的值的产生原理：结合乘法公式或将（a-b）2视为［a+（-b）］2来运算，可得（a-b）2=a2-2ab+b2.

设计意图此问的提出，意在将平方差公式和完全平方公式从真正意义上融进整式乘法这个大单元中，揭露它们之间的关系为：完全平方公式与平方差公式，这两者均为整式乘法中的特殊类型，由此引导学生体悟章节知识的系统性与连贯性特征.

问题5尝试总结完全平方与平方差公式等号两边的结构特征，并用数学语言来表达完全平方公式.

根据式子（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2，学生自主总结出等号左边为二项式的平方，右边都是三项式，且均含有两项乘积的2倍与平方和. 由此学生用文字语言表述为：两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和加或减掉它们乘积的两倍.

设计意图类比分析不仅让学生明确了完全平方与平方差公式的一般形式，还进一步强化了学生对公式意义的理解，学生在此过程中通过合作交流不仅获得了团队协作意识，还进一步发展了逻辑思维，提升了学力.

3. 举例应用，巩固提升

例1请用完全平方公式来计算下列各式：

①（3x-3）2；

②（3x+4y）2；

③

3x-2.

设计意图三个典型式子的提出，一方面巩固学生对完全平方公式的理解与应用，另一方面考查学生的应变能力，让学生的思维随着式子的变化拾级而上，促使学生通过解题进一步明确公式中的a，b所对应的量，这是发展数学运算能力的基础.

巩固提升（1）判断下列式子是否正确，若存在错误，请在括号内改正.

①（x+3）2=x2+9（     ）；②（3m-2）2=3m2-12m+4（     ）；③

x+42=x+2x+16（     ）；④（-a-3）2=a2-6a+9（     ）.

设计意图易错问题罗列到一起让学生自主辨析，可帮助学生更好地理解公式的内涵. 这四个式子均不正确，存在的问题分别为：式子①将2·x·3漏掉了；式子②没有把“3m”视为整体；式子③遗漏了2·x·4中的系数2；式子④为常见错误类型，没有将公式中的a，b分别代表谁搞清楚.

（2）计算下列各式：

①

2xy+x2；②（n-2）2-n2.

设计意图这两道计算题具有一定的代表意义，属于易错类型. 教师选择一些典型计算过程进行投影，以引导学生自主思辨正确的计算方法. 对于式子②，可用完全平方公式进行计算，也可借助平方差公式的逆运算进行计算. 教师将不同方法展示出来，引导学生切身感知不同计算方法的优劣势，以进一步培养学生的运算素养与思辨能力.

4. 背景拓展，深化理解

问题6平方差公式存在一定的几何背景，那么完全平方公式能不能通过几何图形来验证呢？

活动1要求学生用课前准备好的4张A套卡片进行拼接摆放，形成一个正方形，图形间不可存在重叠或空隙.

如图2，学生自主摆放，最终形成的大正方形面积存在如下两种计算方法：①用直接法计算，S=（a+b）2；②用间接法计算，S=a2+2ab+b2. 根据这两个式子，可确定（a+b）2=a2+2ab+b2.

活动2要求学生用课前准备好的3张B套卡片拼出一个大正方形，图形间允许出现重叠情况.

学生自主摆放，如图3所示，确定重叠部分的面积是b2，那么面积计算方法有：①用直接法列式为S=（a-b）2；②用间接法列式为S=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.

问题7通过以上分析，大家说说完全平方公式间具有什么联系，请尝试推导这种联系间的数量关系.

学生自主思考并讨论，列式为：（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a-b）2=a2-2ab+b2.通过类比分析，一致得出如下结论：（a-b）2较（a+b）2少4ab，也就是（a-b）2=（a+b）2-4ab.

活动3要求学生用课前准备好的4张C套卡片来摆放大正方形，图形间不可存在重叠情况，允许有空隙存在.

如图4，拼接而成的大正方形面积为中间空白部分的面积加上四个长方形的面积，即S=S+4S，也就是（a+b）2-（a-b）2=4ab.

设计意图  《义务教育数学课程标准（2022年版）》再三强调“数学实验”的重要性，明确提出教师应创造条件为学生提供动手操作的机会，让每个学生都能在实操中动手动脑，提升创新意识. 此环节，教师提出不同拼图要求，让学生切身感知完全平方公式的几何意义，这对发展学生的抽象素养、逻辑推理能力、直观想象力等均有重要价值.

问题8以小组为单位，设计（a+b+c）2的几何图形，说说你们由此获得的结论.

学生基于（a+b）2=a2+2ab+b2，自主发现了（a+b+c）2的本质就是将原本以（a+b）作为边长的正方形进行扩充，形成边长为a+b+c的正方形（见图5），那么（a+b+c）2=a2+2ab+b2+2ac+c2+2bc.

设计意图问题背景的拓展进一步发散了学生的思维，让学生对完全平方公式形成了更深刻的理解与灵活应用. 除此之外，教学拓展也有效促进了数学核心素养的形成与发展.

实践感悟

指向核心素养发展的大单元教学的备课，需将当堂课置于该单元、整本教材或整个中学阶段数学体系中进行设计，以引导学生从真正意义上理解知识特点、作用与地位等，为提升学力，发展核心素养奠定基础.

完全平方公式和平方差公式从本质上来说，均隶属于整式乘法范畴中的两种特殊情况，即（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，当p，q互为相反数时，可将乘法公式转化为平方差公式；而当p，q相等时，又可将乘法公式转化成完全平方公式. 事实上，教师将这两种特殊情况罗列出来，引导学生从不同的角度与整体的视角来理解完全平方公式以及平方差公式，而非将它们割裂. 这也是大单元教学的意义所在.

回顾本节课的活动3，该环节讨论的是（a+b）2和（a-b）2之间存在怎样的联系，应用代数法能发现它们之间所包含的数量关系，而通过对几何图形面积的研究，可进一步强化学生对这种联系的认识. 如图6所示，将四个长方形的对角线依次连接，获得勾股定理的证明图形. 这一发现，让课堂充满了生机与活力.

总之，大单元教学需跳出课堂的局限性，应立足于教情、学情与考情，结合教学内容的特点从宏观的角度进行教学设计，这是提升课堂教学质量，发展数学核心素养的重要途径.