基于数学逻辑一致性设计前后连贯的概念教学

曹淑艳

［摘  要］ 数学知识不是孤立的散点，而是一个逻辑连贯的体系. 在初中数学教学中，教师要着眼于全局，将单一知识融于知识体系中引导学生去学习、去探索、去反思、去总结，以此帮助学生全面深刻理解知识的同时，建构完善的知识体系. 在教学“函数概念”时，教师站在中学数学体系的高度审视教材，通过多环节的渗透与强化揭示函数概念的本质，让学生体悟知识间的内在联系，促进学生认知结构的优化与完善和学生数学学习能力的发展与提升.

［关键词］ 知识体系；认知结构；学习能力

数学概念是解决数学问题的金钥匙，数学概念在数学中的地位和作用是不言而喻的. 在数学概念教学中，学生不单要理解和记忆概念，还要领悟概念本质，提炼蕴含其中的数学思想方法，掌握其与其他知识间的联系，以此建构完善的知识体系，发展数学能力. 在概念教学中，教师要重视新旧知识间的“联结点”，将分散的、碎片的知识有效地串联起来，为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，让学生学会思考、学会学习.

函数概念具有高度的抽象性，若教学中仅将概念具体内容呈现给学生，而不带领学生经历概念抽象的过程，学生将难以理解和掌握，这样势必会影响后期对指数函数、对数函数等相关函数知识的学习. 为了帮助学生更好地理解和掌握函数概念，教师可以在不同知识内容中渗透函数思想方法，通过分时段、分层次的逐层渗透，逐步建立函数概念.

关注知识的“联结点”，渗透函数思想

周知，数学知识不是孤立存在的，数学知识之间存在着千丝万缕的关系，因此教师在教学中要学会从整体、联系的角度出发，站在中学数学知识体系的高度思考不同知识间的内在联系，将零散的、碎片化的知识联系在一起，帮助学生建构知识体系. 从整体视角审视函数概念不难发现，函数与求代数式的值、方程等内容密切联系，因此教师在教学“代数式的值”“方程”等内容时，可以有意识地渗透函数思想，以此为函数概念的建立奠定基础.

1. 在“代数式的值”教学中渗透

在教学“代数式的值”时，教师可以让学生思考这样一个问题：若想知道20-4x的值，需要知道什么？根据学生的回答，教师可以适时地追问：当x=1时，代数式20-4x的值为16，那么是不是可以说20-4x的值是16呢？这样通过追问让学生体会：代数式的值会随着字母的值变化而变化，若字母的值被唯一确定，则代数式的值就被唯一确定，但是代数式的值有无数个，不能说20-4x的值是16. 在此基础上，教师可以让学生先按照要求填写表1，然后归纳总结自己的发现，以此借助表格的直观让学生体会其中的“变化与对应”.

2. 在“二元一次方程组”教学中渗透

教学“二元一次方程组”时，大多数教师会以生活实例为切入点，让学生感悟数学的应用价值，以此提高学生的探究欲. 在教学中，教师创设了这样一个问题情境：进入淘汰赛阶段，每场比赛都要分出胜负. 若胜一场积2分，负一场积1分，某篮球队共参加22场比赛，总积分为40分，则该篮球队胜几场？负几场？学生根据已知设该篮球队胜x场，负y场，易得两个方程：x+y=22和2x+y=40. 在求解过程中，教师让学生思考这样一个问题：满足条件x+y=22且符合实际意义的x，y值有哪些？请将符合实际意义的x，y值填入表2中.

学生根据已有经验得到了许多满足方程x+y=22的x，y的值，在此基础上教师让学生思考x=-1，y=23和x=1.5，y=20.5是否符合条件，由此让学生体会符合条件的x，y的值应该在非负整数这个范围内. 这样通过经历以上探究过程，学生理解函数概念“在某个变化过程中”这一条件时自然轻车熟路. 另外，在此过程中，教师还可以引导学生思考满足方程2x+y=40的x，y的值，进一步体会一个值随着另一个值变化而变化的过程. 同时在此基础上教师顺势追问：每当给定x一个值时，能够得到几个y值？以此进一步强化学生对单值对应的理解，为后续函数概念的学习打下坚实的基础.

数学是一门逻辑性较强的学科，前面知识往往是学习后面知识的基础和保障，教师作为课堂教学的组织者和启发者，要关注知识间的前后联系，通过前期的渗透为后面的学习打下坚实的基础，以此帮助学生突破学习难点.

关注知识的“生长点”，建立函数概念

函数概念所呈现的是一个量随着另一量变化而变化的关系，这种变化和对应关系对于学生来说并不陌生——生活中许多问题都有这种变化和对应关系. 不过值得注意的是，虽然在前面教学中教师有意识地渗透了变化和对应关系，但是学生对这种两个变量之间的单值变化关系并未形成深刻的认识，因此在实际教学中，教师应以学生已有知识和经验为出发点，借助实例引导学生进一步感悟这种变化和对应关系，进而通过探索、交流、归纳等逐渐建立函数概念.

1. 巧借实例，渗透概念的实质

问题1  行程问题是我们非常熟悉的问题，行程问题中涉及哪些量？

预设：速度（v）、时间（t）、路程（S）.

问题2  若一辆汽车匀速行驶，其行驶速度为60 km/h，那么时间（t）和路程（S）存在怎样的数量关系？

预设：S=60t.

问题3  在S=60t中，两个变量按照怎样的规律变化？若其中一个量是定值，那么另外一个量是否可以确定？若可以确定，有几个值与之对应？

预设：学生结合学习经验及生活经验可以轻松判定路程（S）随着时间（t）的增加而变大，若t为定值，则S的值也随之唯一确定.

设计意图  以学生熟悉的实例为研究背景，引导学生探索蕴含其中的数量关系和变化规律，让学生自主建构常量与变量之间的关系，体会一个量随着另一个量变化而变化的规律，理解单值对应，为抽象函数概念打下坚实的基础.

2. 对比分析，生成函数的概念

问题4  表3是某校近几年的学生人数统计表.

思考：观察表3，对于表中每一个确定的年份（x），是否都有确定的学生人数（y）与之唯一对应呢？

问题5  图1是某地某天的气温变化图.

（1）4时、12时、20时的气温分别是多少？

（2）若时间t是确定的，那么对应的气温T是唯一且确定的吗？

思考：（1）以上实例具有怎样的共同特征？请结合其共同特征尝试给函数下定义.

（2）函数和函数值有何区别？函数值和之前我们学习的哪些内容存在联系？

（3）结合以上实例说一说，可以用什么形式来呈现两个变量之间的对应关系.

设计意图  以学生熟悉的生活实例为背景，符合学生的认知规律和思维习惯，能够调动学生参与课堂的积极性，使抽象的概念更加具体化、生动化，使概念的生成变得自然、顺畅. 另外，在此过程中，教师运用三种不同表示形式的实例既引导学生深刻地感悟两个变量之间的唯一对应关系，又为后续学习函数的三种表示形式做准备，充分体现数学知识间的内在联系.

3. 思考辨析，理解概念的本质

问题6  生活中有许多体现函数关系的实例，你能列举一些吗？

设计意图  教师预留时间让学生根据自己对函数概念的理解列举一些生活实例，以此进一步加深学生对函数概念的理解. 同时，通过分析实例，让学生初步体会函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，以培养学生的模型意识，发展学生的抽象概括能力.

问题7  图2所示的曲线中，哪些表示y是x的函数？

问题给出后，教师让学生独立思考，然后组织学生合作交流. 学生根据函数的概念得到如下结论：①②③中的y是x的函数；④⑤中的y不是x的函数，但是④⑤中的x是y的函数，其理由是④⑤中的每一个确定的x值，不止一个y值与之对应，但是每一个确定的y值，都有唯一的x值与之对应.

设计意图  通过前面实例的探究，学生已经理解并掌握了函数的概念，在此基础上，教师给出实例继续引导学生思考辨析，以此拓宽概念的外延，为高中学习函数概念打下坚实的基础.

问题8  已知一辆汽车的平均油耗量为0.1 L/km，油箱中油量y（单位：L）随着行驶路程x（单位：km）的变化而变化.

（1）油箱内有50 L的油，在不加油的情况下，请写出表示油箱内的油量y（单位：L）与行驶路程x（单位：km）的函数关系的式子，并写出自变量x的取值范围.

（2）图3中哪个图象能够正确表示y与x之间的函数关系？

从学生反馈来看，学生根据已知易得函数关系式y=50-0.1x，不过在求自变量x的取值范围时，部分学生给出的答案是“自变量x取一切实数”，可见学生因忽视问题的实际意义而出现了错误. 在教师的启发和指导下，根据实际意义求得自变量x的取值范围为0≤x≤500. 这样通过具体问题的解决让学生体会这个变化是在自变量的取值范围内的变化，以此加深学生对函数定义域的理解，为后续一次函数的学习积累认知经验. 问题（2）中，引导学生对图象进行辨析，让学生直观体验一个量随着另一个量变化而变化的过程，加深学生对“变化与对应”这一函数本质的理解，为后续函数图象的学习做好准备.

问题9  x与x之间是否存在函数关系？如果存在，x是x的函数，还是x是x的函数？

学生根据函数概念通过正反两个方面进行验证顺利得到结论，以此进一步强化对单值对应的理解，培养学生思维的严谨性.

在教学中，教师通过典型例题加深学生对函数本质的理解，从而为应用打下了坚实的基础. 同时，在此过程中，教师引导学生从文字、表格、图象中提取信息，一方面可以规避单一练习所带来的枯燥感，有效激发学生参与课堂的积极性和主动性；另一方面可以提高学生看图识图能力和数学语言表达能力，推动学生综合能力和综合素养的发展与提升.

关注知识的“延伸性”，深化对函数概念的理解

学习是一个不断发展、不断完善的过程，学生对函数概念的理解亦是如此. 在后续函数图象、三角函数等相关知识的教学中，教师可以函数概念为基础，引导学生自主参与相关知识的建构，进一步深化对函数概念的理解，促进个体认知结构的完善与生长.

1. 在“函数图象”教学中深化

函数图象因其具有直观、形象、简洁等特点而成为研究函数的重要工具. 在函数图象教学中，教师应以函数概念的本质为抓手，在探索新知的过程中促进学生深化对函数概念的理解. 如在绘制函数图象的过程中，不仅要让学生掌握绘制函数图象的方法，还要引导学生理解画法背后的意义，从而掌握函数的三要素；在读图识图的过程中，通过图形变化让学生体会函数是一个变化过程，而函数图象可以直观地反映函数这一变化过程；在应用函数图象的过程中，教师可以引导学生用函数图象去探索两个变量之间的变化趋势和变化规律，以此进一步加深学生对“变化和对应”的理解. 这样通过逐层深入，不仅能深化学生对函数的理解，还能增强学生的数形结合意识.

2. 在“锐角三角函数”教学中深化

锐角三角函数以函数的定义和相似三角形的性质为知识背景，其所呈现的是一边随着另一边变化而变化的关系. 在锐角三角函数教学中，教师以函数的本质为抓手，引导学生自主构建锐角三角函数的定义，让学生体会数学知识之间的逻辑一致性，促进学生建构并完善知识体系.

特定情境：在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）观察图4，说一说在变化中哪些量是不变的？

（2）若∠A=30°，那么它所在的三角形的每条边的比值是否被唯一确定？如图5，若∠A取其他数值呢？此时三角形每条边的比值是否被唯一确定？

在教学中，教师引导学生用函数观点审视“锐角三角函数”，自主建构锐角三角函数的定义，这样既可以突出函数的应用价值，加深学生对函数概念的理解和掌握，又能拓宽学生的视野，提高学生分析和解决问题的能力. 因此在新知教学中，教师应有意识地引导学生回头看，让学生用已有知识和经验解决问题，这样一方面可以巩固已有知识，另一方面可以将陌生的问题向熟悉的问题转化，推动学生自主学习能力的提升.

总之，在数学教学中，教师作为课堂教学的主导者，应该认真研究教材、认真研究教学，站在数学知识体系的高度设定教学目标，实施教学计划，以此顺利突破教学重难点，切实提高教学品质，发展学生的数学综合能力.